基本不等式應用難點的突破策略

郭瑋玲

【摘要】本文詳細分析了學生在基本不等式應用中的困惑，提出在基本不等式應用中的六大難點，并針對性給出突破策略，在各自不同的難點突破中得出通性通法：無論哪種難點最終都通過合理變形構造出滿足基本不等式的條件。本文對引導學生突破基本不等式應用困難有啟發性。

【關鍵詞】基本不等式 應用難點的突破策略

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）05-0282-02

一、基本不等式的地位與作用

基本不等式又稱均值不等式，是每年高考中不可缺少的解題工具，是高考重要的考點，既是熱點又是難點，要求掌握定理，并會簡單應用。基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”或將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，是不等式變形的一個重要依據，是解決最值問題的有力武器。高考中可單獨命題，也經常結合數列、函數、不等式等知識綜合考查，難度一般較大，也常結合實際問題，以解答題形式出現。

二、學生的困惑

學生應用困難表現在：1）不能在具體情景中識別或應用基本不等式 2）運用基本不等式常常出錯 3）在比較隱蔽的條件中無法建構基本不等式。

三、基本不等式應用難點的突破策略

如何才能正確地靈活地使用基本不等式，我們應該掌握它的使用規律，本文嘗試通過幾道例題揭示基本不等式應用難點的突破策略。

難點一：多變量條件下求最值——突破策略：消元或換元，創造基本不等式應用環境。

例1.設正實數滿足，則當取得最大值時，的最大值為

（A）0 （B）1 （C） （D）3

【解題指南】此題可先利用已知條件用來表示，再經過變形，轉化為基本不等式的問題，取等號的條件可直接代入，進而再利用基本不等式求出的最值.

【解析】由，得

所以當且僅當時取等號此時，

【答案】B.

難點二：以相等關系隱藏不等關系——突破策略：利用基本不等式消元構造新的不等式。

例2.（2011浙江高考題理16）設為實數，若，則的最大值是__________.

【解題指南】利用基本不等式將已知定值式中的均轉化成含的不等式，再求的最大值.本題的解法過程體現了“消元”的思想，所求目標函數是和的形式，那我們就設法消去條件等式中的乘積，方法就是利用基本不等式，這里它的作用，一個是消元，還有就是把條件的等式變為了不等式.

【解析】，可解得的最大值為。

難點三：恒成立問題求參——突破策略：參數與變量分離，轉化成最值問題再求解。

例3.已知正實數滿足，若對任意滿足條件的，都有恒成立，則實數的取值范圍為________

【解題指南】首先對恒成立不等式可進行參變分離，。進而只需求得的最小值。將視為一個整體，將中的利用基本不等式換成，然后解出的范圍再求最小值即可。

【解析】

解得：或（舍）

（在時取得）

難點四：形式復雜，多次使用基本不等式------突破策略：基本不等式使用條件是“一正、二定、三相等”，在使用時一定要注意這個條件。盡量不要連續兩次以上使用基本不等式，若使用兩次時應保證兩次等號成立的條件相等。

例4（2010.四川）設，則的最小值是

（A）2 （B）4 （C） （D）5

【解題指南】本題利用湊配的方法來考查基本不等式問題.使用兩次時應保證兩次等號成立的條件相等。

【解析】

，當且僅當且時，即當時，等號成立，故選B.

難點五：多種知識交匯——突破策略：緊扣目標，審清題意，抓住最值這一核心，構造基本不等式應用條件。

例5.（2015.四川）如果函數在區間上單調遞減，則的最大值為（ ）

（A）16（B）18（C）25（D）

【解題指南】首先弄清拋物線的開口方向和對稱軸，結合所給單調區間找到滿足的條件，然后利用基本不等式求解.本題將函數的單調性與基本不等式結合考查，檢測了學生綜合運用知識解題的能力.在知識的交匯點命題，這是高考的一個方向，這類題往往以中高檔題的形式出現.

【解析】時，拋物線的對稱軸為據題意，當時，即由且得同理，當時，拋物線開口向下，據題意得，得，故應舍去。

時所以最大值為18.【答案】B

難點六、看上去不能用基本不等式——突破策略：對不具備應用基本不等式的條件的關系式，通過引入參數對其中一項進行裂項，與其他兩項重組，求出參數的值，為應用不等式鋪平道路。

例6.若已知，則的最小值為______.

【解析】當且僅當時，可取得函數的最小值，此時，最小值（下轉292頁）（上接282頁）為。

四、方法小結

從基本不等式的應用各難點來看，每一個例子的解題思路都有各自的特點，但最終都通過合理變形把問題轉化為適合使用基本不等式結構的形式。在應用基本不等式求最值要注意：一要“正”：各項或各因式必須為正數 二可“定”：必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結構，如果找不出“定值”的條件用這個定理，求最值就會出錯 三能“等”：要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那么求出的仍不是最值。

參考文獻：

[1]《探究高考基本不等式應用的點線面問題》代宗山《數理化學習（高三版）》2013.11.

[2]《例談基本不等式難題的“偽裝”及破解策略》王榮鑫 《數理化學習》2016.02.