淺析勾股定理在初中數學中的應用

蘭東平

勾股定理是一個基本的幾何定理，在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理 三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明。直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。勾股定理現發現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。

勾股定理是初中幾何里最重要的定理之一，它在初中幾何里的應用也十分廣泛，我在教學中發現，勾股定理在折疊問題中的應用具有典型性和普遍性。下面我就具體說明它在這個方面的應用。在幾何學習中，圖形的平移，旋轉，軸對稱是基本變形，其中，圖形的軸對稱也就是圖形的折疊一類題型中，計算題比較多，而這類計算題通常用勾股定理來解決就簡單得多。

一、勾股定理在折疊問題中的應用

勾股定理在有關圖形折疊計算的問題中的共同方法是：在圖形中找到一個直角三角形，然后設圖形中某一未知線段為x，將此三角形中的三邊長用具體數或用含x的代數式表示，再利用勾股定理列出方程，從而得出所求的線段長度。

下面我從線段的折疊，三角形的折疊，四邊形的折疊三個方面探究勾股定理在其中的應用。

1.線段折疊問題

例1.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm.現將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（ ）

此題是關于線段折疊的計算題，在計算過程中我們可以先選定Rt△BDE，在此三角形中應用勾股定理，首先設要求CD=x，則AE=AC=6，BE=10-6=4，BD=8-x，DE=，，

得，求得x=3，即CD=3.

2.三角形折疊問題

例2.如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE.將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG，CF.有下列結論：①△ABG≌△AFG ②BG=GC ③AG∥CF ④S△FGC=3.其中正確結論的個數是（ ）

此題是三角形的折疊計算題，在證明BG=CG相等的過程中，我們可以先選定Rt△CEG，在此三角形中應用勾股定理，首先設線段BG為，則CG=，CE=4，GE=則有，，得出=3，則CG=3，從而得出BG=CG正確。

3.四邊形折疊問題

例3.折疊矩形ABCD的一邊AD，點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求CF、EC、AE的長各是多少？

在解決此題時，先選定Rt△ABF，由題目中給出的邊長利用勾股定理求出BF=6，則CF=4，接著在Rt△CEF中，設EC為，則EF=DE=，由勾股定理得出方程，即可求出EC，之后AE即可迎刃而解。

4.三角形與四邊形折疊種類

（1）.三角形：

（2）.四邊形：

在解決線段、三角形及四邊形的折疊問題中，首先用題目中的已知量利用勾股定理直接得出需要的邊長，然后選定直角三角形，確定未知量，并用這個未知量表示該直角三角形中其他的邊長，再次利用勾股定理列出方程即可求出所需線段長度。在平時教學中要鼓勵學生，善于觀察，仔細把握每一個已知量，靈活應用勾股定理求解，因此深刻理解勾股定理是關鍵。

二、勾股定理在最短距離問題中的應用

利用勾股定理求幾何體表面上某兩點之間的最短距離，因為兩點之間線段最短，所以要求幾何體表面上兩點之間的最短距離，我們可設法將幾何體側面展開成為平面圖形，從而利用平面圖形的有關性質使問題得以解決。以下我會從初中常見的臺階及立體圖形方面探究勾股定理在其中的應用。

1.臺階中的最短距離

例4.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從A點出發，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？

臺階中求最短距離是比較常見的題型，對于此題要善于觀察圖形，并能從立體圖形中抽象出平面圖形（如右圖），從而找到出發點A與終點B，由兩點確定一條直線AB，直線AB即為最短距離。構造Rt△ABC，由即可得到，最終求得AB=13.

2.圓柱（錐）中的最短距離

例5.有一圓形油罐底面圓的周長為24m，高為6m，一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對角B處吃食物，它爬行的最短路線長為多少？

由于老鼠是沿著圓柱的表面爬行的，故需把圓柱展開成平面圖形。根據兩點之間線段最短，可以發現A在圓柱側面展開圖的寬1m處，B分別在圓柱側面展開圖長24m的中點處，即AB長為最短路線（如右圖）。由此得AC=5，BC=12，由得，解得所以老鼠爬行的最短距離是13米。

3.正方體中的最短距離

例6.如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是（ ）.

（A）3 （B） （C）2 （D）1

由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開成平面圖形（如右圖）。連接AB，則AB即為螞蟻爬行的最短距離。在Rt△ABC中利用勾股定理即可求得螞蟻爬行的最短距離為。

4.長方體中的最短距離

例7.如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處（三條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？

根據題意分析螞蟻爬行的路線有三種情況（如下圖）。

在三個圖形中分別確定最短路徑，選定直角三角形，由勾股定理可求得圖1中AC1=5 圖2中AC1= 圖3中AC1=，因此圖1中爬行的路線AC1最短為5。

5.選址問題中的最短距離

例8.如圖，一條河同一側的兩村莊A、B，其中A、B到河岸最短距離分別為AM=2km，BN=1km，MN=4km，現欲在河岸上建一個水泵站向A、B兩村送水，當建在河岸上何處時，使到A、B兩村鋪設水管總長度最短，并求出最短距離。

此類確定選址地點問題，在教學中較為常見，可找出A、B兩點關于直線 的對稱點A1與B1，連接A1B，則易知A1B即為梁村鋪設管道的最短長度，通過構造直角三角形，利用勾股定理即可求出水管的最短長度（如右圖）。

由以上分類可以得出，勾股定理在空間圖形中求最短距離問題中的應用比較廣泛，而且對于求解過程簡便，難點在于學生如何將空間圖形抽象為平面圖形，并準確確定原立體圖形中的點，在展開的平面圖上相應的位置，如何準確選擇直角三角形，利用勾股定理得出方程。因此要努力培養學生空間想象力，深刻理解勾股定理。而在選址問題中確定最短距離，通常會運用對稱知識，通過圖形對稱變換，找到對段距離，進而在直角三角形中應用勾股定理進行求解。

綜上所述，從以上例題我們很容易發現勾股定理在折疊問題的計算應用中具有普遍性和實用性，對于學生而言，怎樣確定一個直角三角形來利用勾股定理列出方程是關鍵，通過這些例題，希望在今后教學中遇到此類問題，學生能夠得心應手的解決，加深對勾股定理的理解并熟練運用。