對同一道數學題的不同解法回歸知識的生成

陳永紅

【摘要】數學是一門基礎學科，具有嚴謹性、抽象性、廣泛應用性三大特點，系統性強，知識鏈條、前后銜接、環環相扣，并總是按照“發生，發展，延伸”的規律，自然的構成每一單元的整體。數學學科不但本身分值較重，直接影響著升學，同時也影響著學生對其他學科的學習，所以學好初中數學是十分重要的。“一題多解”作為初中數學教學的重要組成部分，對于掌握解法、激發興趣、鞏固雙基、啟發思維具有十分重要的意義。但是在實際的教學過程中，大多是通過題海戰術，局限于解題技巧和方法步驟的教學，缺乏對其本質的認識。“一題多解”教學的本質就在于方法本身的發現，讓學生通過解題過程發現解題的方法。本文筆者通過用多種方法去解一道數學題，來探討來學生對知識生成重要性的學習。

【關鍵詞】一題多解 知識生成 初中數學教學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）05-0268-02

一題多解指的是通過不同的思維方式，運用至少兩種以上的方法或途徑來對同一道題進行解答[1]。在初中數學教學過程中，一題多解是對一道問題從不同的角度和層次進行思考與分析，然后提出不同的解決方案。一題多解教學可以拓寬學生的思維方式，有利于學生將內在知識聯系起來，促進知識的轉化，回歸知識的生成。

一、一題多解對初中數學教學的重要性

1.一題多解有助于知識體系的建構

美國認知教育心理學家奧蘇貝爾曾說：“學習是無意義的、機械的還是有意義的，關鍵在于能否在新舊知識之間建立起合理的、實質的聯系[2]。”在初中數學教學過程中，建立新舊知識的聯系就是教學的一個重難點。而一題多解可以通過一道題目聯系到很多的知識點，引導學生在知識間建立更多的聯系。學生通過思考學習，可以對比不同解法的優缺點，進而進行知識的歸納整理，整合成一塊系統的知識塊，既可以減少記憶的負擔，也可以增加運用的有效性。

2.—題多解有助于提高學生解題能力

數學的核心在于問題解決，數學教學的一個重要目的就是培養學生的解題能力。提高解題能力既要知道怎么做，還要知道為什么這么做。如果學生可以主動去進行一題多解，就會發現很多知識間存在的隱形聯系，使知識間更緊密地聯系在一起，進而形成一個更有序的系統，解題時能快速有效地調動知識。通過一題多解，既可以增加縱向知識間的聯系，擴展知識的廣度，避免機械式的做題 也有利于學生尋根溯源，增加知識的深度，避免就題論題，真正提髙解題能力，激發數學學習的興趣[3]。

3.一題多解有助于培養學生創新思維

一題多解教學需要學生對同一道題目結合不同的知識、從不同的角度入手、突破常規的解題思路來解答問題。這個解題的過程就是刺激發散的過程，可以充分發揮學生想象力，通過不斷的嘗試把問題與以前的知識聯系起來，發散能力的不同，聯系到的知識范圍就不同。一題多解教學在課堂上給學生灌輸創新的意識，使學生在解題過程中產生認知沖突，進而激發學習數學的興趣，激活學生的創新思維，同時，教師再根據學生的反應，設置問題，引導、啟發學生進一步思考，有效提高課堂教學效果[4]。

二、初中數學一題多解的實例分析

本文筆者對2012年中考第25題進行改篇，通過對看到的不同的幾何基本圖形來進行不同的解法，研究復習初中幾何三角形、等腰三角形、直角三角形、平行四邊形以及菱形的知識。

1.例題呈現

題目：在平行四邊形ABCD中（見圖1），AB=5，BC=10，F為AD的中點，CE⊥AB于E，設設∠ABC=α（60°≤α<90°）。當60°<α<90°時，是否存在正整數k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值 若不存在，請說明理由。

點評：本題考查了三角形外角和定理，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，平行四邊形的性質，菱形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質等知識。而作出輔助線，構造什么樣的基本圖形是解題的關鍵。

2.求解思路及回歸知識生成

題目分析：當看到線段中點，線段平行，研究角的關系時，馬上聯想到構造全等三角形。延長EF交CD的延長線于G，連接CF。構圖之后引導學觀察圖形，這個時候，重點不是解題，而是引導學生把觀察到的全等三角形、等腰三角形、直角三角形找出來，然后進一步對這三個圖形的基本性質，尤其關于角度方面的性質列出來。兩個全等三角形的對應角相等，對應邊相等 對于直角三角形，通過看圖發現，斜邊上的中線等于斜邊的一半，也就說這個時候發現了三個等腰三角形，那么等腰三角形的性質是兩個底角相等。此時，教師可以進一步提問，等腰三角形的兩個底角相等是通過用什么方法證明出來的？通過畫圖可知是利用畫底邊上的高，用HL證明全等而得到。此時，又可以引導學生證明等腰三角形里三線合一的重要性質。然后教師又可以提出，既然大家都知道直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，那么這個定理又是通過什么方法證明出來的呢？其實，用這個定理是大家熟悉的，但對這個定理的生成，很多學生已經忘記了。下面來證明直角三角形斜邊上的中線定理。

證明：已知△ABC是直角三角形（見圖2），AD是BC上的中線，求證AD=CB/2。

對直角三角形斜邊上的中線定理的證明過程是很重要的，通過證明過程，既可以讓學生熟悉三角形中位線的定理，又可以加固線段中點加垂直，即垂直平分線在證明中的應用。通過之前對這幾個基本幾何圖形的分解，和再次地展現定理和性質的生成，這個過程其實已經啟發學生，有利于學生自主地提取已有的知識經驗，與任務相關的經驗，來分析問題和解決問題。因此，這個時候再回歸這道題目，發現了等腰三角形△DFC，Rt△GCE，等腰三角形的性質是兩個底角相等，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半，繼而是三角形的外角等于不想鄰的兩個內角和，就可以證出這道題。

解法1構造一個三角形

延長EF交CD的延長線于G，連接CF（見圖4）。易證△AFE≌△DFG（AAS），∴EF=GF。在Rt△ECG中，CF= EG=GF，∵BC=10，AB=5，F為AD的中點，∴DF=DC，∴∠AEF=∠G=∠DCF=∠DFC，∴∠EFC=∠G+∠DCF=2∠AEF，∴∠EFD=3∠AEF。因此，存在正整數k=3，使得∠EFD=3∠AEF。

解法2構造另一個三角形（中考標準答案）

思路分析：通過第一種證明方法的引入和分析，這個時候就能夠啟發學生，是否有另一種方法來構造全等三角形來進行證明？通過引導學生，可以發現通過一邊進行延長，構成另外一個全等三角形，即連接CF并延長交BA的延長線于點G，很快證明出來。

證明：連接CF并延長交BA的延長線于G（見圖5），∵F是AD的中點∴AF=FD。在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。在△AFG與△DFC中，∵∠G=∠DCF，∠AFG=∠DFC，AF=DF，∴△AFG≌△DFC（AAS）∴CF=GF，AG=CD。∵CE⊥AB，∴∠CEG=90°∴EF=GF（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），∴∠AEF=∠G。∵AB=5，BC=10，點F是AD的中點，∴AG=5，AF= AD= BC=5，∴AG=AF，∴∠AFG=∠G。在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF，∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF。因此，存在正整數k=3，使得∠EFD=3∠AEF。

反思：在復雜的幾何圖形中，分解出基本的簡單圖形，在已有基本圖形中尋找出基本元素及其關系的能力，而對于這些基本圖形的補全，恰恰是做輔助線的思維出發點。它們的性質是解題的突破口，讓學生感悟到補全基本圖形，輔助線就是水到渠成，從而解有所獲，因此分離基本圖形非常重要，每一個知識點都讓學生學透，這樣綜合效果就會比較好。

解法3構造菱形

思路分析：通過觀察圖形發現已經有平行四邊形了，那么，我們能不能夠通過構造出特殊的四邊形，來證明這道題。當發現FD和DC都等于5的時候，很容易會想到構造菱形。然后，繼續引導學生，菱形有什么性質，通過邊、角、對角線進行分析和論證這些性質的生成，當然用大家熟悉的全等三角形去證明，是顯而易見的。由于在第一種方法證明的時候，運用了三角形中位線的證明其實對這一道題也是有很大的啟發。通過觀察可以發現H也是EC的中點，而且FH垂直EC，也是很快證明出結論。

證明：過點F作FG∥AB（見圖6），∴AB∥FG∥DC。∵F是AD的中點，∴G是BC的中點，H是EC的中點，∴EH=CH。∵CE⊥AB，∴CE⊥FG，∴FG是EC的垂直平分線，∴∠EFG=∠CFG=∠AEF.又∵FGCD是菱形，∴∠CFD=∠CFG=∠AEF，∴∠EFD=∠EFG+∠CFD+∠CFG=3∠AEF。因此，存在正整數k=3，使得∠EFD=3∠AEF。

3.解題心得

任何知識都有其存在的背景，這種背景是知識賴以形成和發展的土壤。在特定的背景下，知識的形成和發展有其自身的規律。幾何知識的學習需要經歷知識的形成和知識的應用兩個基本階段，在解題的時候，需要啟發學生提取已有的知識經驗，和多邊形學習中運用，對角線的經驗，讓學生自主地提取，與任務相關的經驗，來分析問題和解決問題，并在證明之后通過反思總結來強化這種經驗。當我們在研究幾何證明題時，設計意圖，從圖形結構出發，體會圖形性質，是圖形構成要素和相關要素在圖形變化下的不變特征，把選擇性注意聚焦到題目的需求當中。因此在教學中，要突出演繹法，著重引導學生運用推理幾何的方法探索證明和應用性質定理，發展邏輯思維能力，用觀察歸納，建立知識之間的聯系，強化知識的生成過程，實現系統化，著重解題規律總結，提煉核心規律。提升是在學生領悟的基礎上的知識生命的拓展，通過對現有知識的成功領悟，讓學生的求知欲望，探究的情神得到張揚和發揮[5]。

三、一題多解應用過程中需要注意的問題

1.選擇相關的例題，多讓學生進行解題過程的練習

人才培養的最高目標在于培養他們的創造能力和創新意識。學數學的本質是什么？學數學的本質是提升思維能力，而不是應付考試。如果能把學數學的觀點改為思維能力，那就可以把知識徹底學通，把題目徹底做通，在提高成績的同時，還鍛煉了思維能力，對以后的學習、甚至是對以后的人生也是受益匪淺的[6]。在初中數學一題多解教學過程中，教師可以選擇相關的例題，讓學生盡可能多地進行解題過程的練習。在教學過程中需要注意兩個方面：一方面，要求學生的解題方法必須是由常規解法到新穎的解法，要由淺入深，循序漸進地加快解題的速度，逐步提高解題的水平。另一方面，面對同一道題，要看誰想出的解題方法最多。實踐證明，面對一道數學題，學生的解法越多，思路則越加開闊。在一題多解教學過程中，教師可以啟發學生從多個角度來思考，也可以啟發學生依據題意，從多個角度對題目中的已知條件進行表達，從而達到開闊思路的目的。

2.采用提問式教學，啟發學生進行一題多解的思考

萬變不離其宗，只要把其中的道理搞明白，一理通而百理明。同理，數學題目也是有規律的，要深入題目的本質，找到題目的規律，做通一題一片題都會了[7]。在初中數學課堂教學中，教師還可以采用提問式啟發學生進行一題多解的思考。由于時間限制，面對一道題目，學生只需要闡述自己的解題思路即可，這樣有利于老師迅速地了解學生的思維狀態，從而對其進行正確的引導，幫助學生主動尋找出多種解題方法。比如，在解題過程中，教師可以啟發學生，根據題目已知條件，進行未知數的設置，然后列出方程式，同時，也可以啟發學生根據題目已知條件進行逆向思維，通過一正一反的解題方法來啟發學生的思維方式，這也是一題多解的典型體現。

四、結語

真正的學習有兩個關鍵要素：一是萬變不離其中，二是通過多種解法發現規律。緊扣問題、探索過程、歸納性質是發現方法的橋梁，是產生解題靈感的素材，數學的一題多解教學必須緊緊圍繞這一素材，才能合乎數學思維的發展規律，有效激發數學教學的創新理念[8]。教師應該引導學生從不同角度分析問題，找出不同的解題思路，引導的方式也是多種多樣的，既可以可以采用口述，也可以要求學生書寫解題過程。無論采用何種方式，最后教師都需要對多種解題思路的優點和缺點進行總結，回歸知識的生成，鼓勵學生繼續開闊思維，尋求更多解題思路。

參考文獻：

[1]馬嬌嬌，侯萬勝.在初中數學一題多解中培養學生的數學思維的探討[J].中華少年.科學家，2016，12：169-170.

[2]張唯.培養多變思維，實施一題多解教學[J].中學課程資源，2013，10：28-28.

[3]陳峰.“一題多解”是提高初中數學教學有效性的“催化劑”[J].中學數學研究（華南師范大學）：下半月，2017，9：22-25.

[4]李文斌.從初中數學的一題多解談培養中學生創新思維能力[J].中國校外教育：中旬，2010，1：54-54.

[5]陶強緒.“一題多解”法在初中數學中的運用[J].教育科學（全文版），2017，03（05）：00068-00068.

[6]吳美娟.開拓思路，一題多解——初中數學教學設計分析[J].數學教學通訊，2017，17：60-60.

[7]吳美娟.開拓思路，一題多解——初中數學教學設計分析[J].數學教學通訊，2017，17：60-60.

[8]羅淬.“一題多解”在初中數學教學中的應用實踐[J].《教育（文摘版），2017，10（03）：00111-00111.