錯位相減法的滿分解法

摘 要 錯位相減法是一種常用的數列求和方法，且也是高考的高頻考點、重點、難點，錯位相減法結果的化簡復雜而繁瑣，所以我們將采取公式的形式來計算錯位相減法的結果，將非標準題型化歸為 ，從而達到公式求解的目的。

關鍵詞 錯位相減法；化歸；標準題型

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）33-0216-01

數列模塊，是高中數學的重要組成部分，也是高考必考的知識點。而在求數列的前n項和問題中，錯位相減法，是高中同學的噩夢。因此，找到合適的公式解法可以略去諸多計算方面的繁雜，并且能夠保證結果的絕對正確性。

一、錯位相減法概述

錯位相減法是一種常用的數列求和方法，在人教A版《數學5》[1]中在等比數列求和公式的推導的方法就使用到了錯位相減法。在平時模擬考試或者是高考中，錯位相減法也經常涉及，是高考的一個高頻高點、重點、難點。而且我們大部分老師都為學生總結了這樣的題型，當數列的通項公式是一次函數×等比數列時用錯位相減法。但是由于錯位相減法復雜而繁瑣的計算，使得學生感到力不從心，即使知道用錯位相減法解此題，但是結果往往算不出來。所以我將從這一現實出發，尋求一個公式來有效解決錯位相減法的結果算不對的問題。

二、公式推導

我們不妨將“數列 ，（ ）求該數列的前 項和”稱為錯位相減法的“標準題型”，下面我們用錯位相減法來求該數列的和：

解：

兩式相減得：

化簡可得： ，令 ，

則 ，令 ，

則 （其中 ， ）

三、例題講解

例1：求數列 的前 項和 。

解：

兩式相減得：

化簡可得：

其中 的求解過程請在草稿紙上完成如下

，從而

例2：求數列 的前 項和 。

解：

兩式相減可得：

化簡可得：

其中 的求解過程請在草稿紙上完成如下：

由于此題給的通項公式并不是標準形式，所以我們自然想到將其化歸為標準形式： ，即 ，所以 ，

從而

例3：求數列 的前 項和 。

解：設

則

兩式相減得：

化簡可得：

其中 的求解過程請在草稿紙上完成如下：

草稿紙上化歸標準題型并計算： ，即 ，代入公式即可得

從而

四、結束語

由于課堂上教師講解錯位相減法的應用時，舉的例子幾乎都是上述“等差乘等比型”數列的求和，因此大多數學生認為錯位相減法也就只能應用在這種類型的數列求和上，但實際上并非如此，在數學解題過程中，應根據數學問題的不同特點與要求，正確區分不同類型的數學問題，分別采用不同的推理思想。

參考文獻：

[1]高中數學必修5[M].人民教育出版社，2006.

作者簡介：顧超（1986-），男，彝族，本科，教師，籍貫：貴州赫章，研究方向：高中數學。