對解析幾何軌跡問題的研究

■重慶市第一中學(xué)高二(4)班　朱健坤 (指導(dǎo)老師:黃正衛(wèi))

軌跡方程的探求是解析幾何中的基本問題之一。解答這類問題,要善于總結(jié)知識之間的相互聯(lián)系。現(xiàn)就這類問題的解題方法和心得總結(jié)如下。

方法一：條件直譯法

已知兩點(diǎn)M(-2,0),N(2,0),點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),滿足,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

分析：題目給出了點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的關(guān)系,直接把條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)即可。

解：設(shè)P(x,y),由題意得:

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2=-8x。

已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PA|=2|PB|,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于多少?

解：由題意得,|PA|2=4|PB|2。

設(shè)P的坐標(biāo)為P(x,y),則:

(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2]。

故(x-2)2+y2=4。

故點(diǎn)P的軌跡為圓,半徑r=2,面積S=4π。

方法二：幾何分析法(常與其他方法相聯(lián)系)

如圖1,已知圓M:(x+1)2+y2=8,點(diǎn)N(1,0),點(diǎn)A是圓M上任意一點(diǎn),點(diǎn)P在直線MA上,且的軌跡方程。

圖1

解：設(shè)NA中點(diǎn)為Q。

由中垂線的性質(zhì)得:PA=PN。

PM+PN=MA=22＞|MN|=2。

故點(diǎn)P的軌跡為橢圓,a=2,c=1。

方法三：相關(guān)點(diǎn)法(代入法)

如果點(diǎn)P(x,y)的運(yùn)動(dòng)是隨著另一點(diǎn)Q(x0,y0)(Q的軌跡已知或可求)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)的,可用x,y把x0,y0表示出來,再代入Q的軌跡方程中,從而求得P的軌跡方程。

如圖2所示,已知P(4,0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn),A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn),且滿足∠APB=90°,R為AB的中點(diǎn),求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程。

解：設(shè)R(x0,y0)。

RP2=(x0-4)2+y20。RO2=x20+y20。

36=RP2+RO2。

x20+y20-4x0-10=0。

設(shè)Q(x,y),則:

圖2

故Q的軌跡方程為x2+y2=56。

方法四：參數(shù)法

此法是選用恰當(dāng)?shù)膮?shù)(如k,θ等),分別將x,y表示出來再求解。過拋物線y2=2px的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦OA、OB,再以O(shè)A、OB為鄰邊作矩形AOBM,如圖3,求點(diǎn)M的軌跡方程。

解:如圖3所示,由題意及有關(guān)知識得:

圖3

消去k得y2=2px-8p2。

故點(diǎn)M的軌跡方程為y2=2px-8p2。

方法五：交軌法(專門解決兩動(dòng)直線的交點(diǎn)的軌跡方程的方法)

這類問題常含雙元參數(shù),求解時(shí)常將兩式相乘,然后整體代換。

解：如圖4所示。

A1(-2,0),A2(2,0)。