MATLAB在數字濾波器教學中的應用楊小鳳

摘要：針對數字信號處理課程的重要教學內容——數字濾波器，具有概念抽象、理論性強、設計方法靈活等特點，以培養應用型人才為出發點，對課程教學進行了改革與探索，利用MATLAB演示數字濾波器的設計過程，提高了教學質量，取得了較好的教學效果。

關鍵詞：教學改革；數字信號處理；應用型人才培養

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）18-0207-03

一、引言

數字信號處理（Digital Signal Processing，DSP）是應用最廣泛、發展最迅速的學科之一，是通信工程、電子信息工程等專業的一門重要的專業基礎課[1]。數字濾波器的設計是這門課程的重要教學內容，具有概念抽象、理論性強、設計方法靈活等特點，對于應用型本科高校的學生來說，由于數學基礎比較薄弱，不能很好地掌握這部分內容的基本原理、物理意義和設計方法，更難將其應用于今后的學習和工作中。

為了達到培養應用型人才的教學目標，筆者對DSP課程中關于數字濾波器設計的教學進行了若干教學改革，根據因材施教的原則和應用性的導向進行教學，授課時淡化公式的數學推導，僅在必要時推導一些重要的公式，把概念和結論講清楚，其余的數學內容可以讓有興趣的學生課后自學，同時著重強調概念的物理意義、設計方法和應用領域，做到數學概念、物理意義、設計應用三者并重。教學中利用MATLAB軟件強大地數值分析、信號處理和圖形顯示的功能，將其與數字濾波器設計的教學相結合，不僅可以使學生從繁重的數學運算與推導中解脫出來，還可以使設計達到最優化，從而快速有效地實現各種數字濾波器的設計、仿真與性能比較。

二、IIR數字濾波器的教學

無限長沖激響應（Infinite Impulse Response，IIR）濾波器主要有如下幾種類型：巴特沃斯濾波器（Butterworth）、切比雪夫I型濾波器（Chebyshev I）、切比雪夫II型濾波器（Chebyshev II）和橢圓濾波器（Ellipse）[2]。上課時應說明這幾種濾波器在性能上的區別，以便學生設計濾波器時根據性能要求選擇不同類型的濾波器。對相同的指標要求，巴特沃斯濾波器階數最高，切比雪夫次之，橢圓濾波器階數最低；當階數相同時，巴特沃斯濾波器過渡帶最寬，橢圓濾波器過渡帶最窄。

IIR數字濾波器的設計結果是濾波器的系統函數H（z），設計步驟為：首先確定濾波器的階數N和3dB截止頻率wc，然后得到濾波器系統函數，運用MATLAB進行設計也相應地需要調用兩個函數。

設計巴特沃斯數字濾波器：

[N，wc]=butterord（wp，ws，Rp，As）；[B，A]=butter

（N，wc，ftype）；

設計切比雪夫（I型）數字濾波器：

[N，wc]=cheb1ord（wp，ws，Rp，As）；[B，A]=cheby1

（N，Rp，wp，ftype）；

設計橢圓數字濾波器：

[N，wc]=ellipord（wp，ws，Rp，As）；[B，A]=ellip（N，

Rp，As，wc，ftype）；

其中，wp為通帶截止頻率；ws為阻帶截止頻率；Rp為通帶最大衰減；As為阻帶最小衰減；ftype為濾波器類型，ftype=high時，設計高通濾波器，ftype=stop時，設計帶阻濾波器，省略ftype為低通或帶通濾波器；A、B分別為濾波器系統函數的分母多項式系數和分子多項式系數。講解各個參數的含義時可以引導學生查閱MATLAB幫助文件，培養學生觸類旁通的能力。下面通過兩個案例說明如何運用MATLAB進行IIR數字濾波器設計的教學。

例1：設計一個低通數字濾波器，要求在通帶[0，0.2π]內衰減不大于3dB，在阻帶[0.6π，π]內衰減不小于40dB，且幅頻特性單調下降。

解：因為題目要求濾波器的幅頻特性單調下降，因此選擇巴特沃斯濾波器。MATLAB設計程序如下，濾波器幅頻響應如圖1所示，從圖1可以看出邊界頻率處的衰減均符合題目指標要求。

wp=0.2；ws=0.6；rp=3；rs=40；

[N，wc]=buttord（wp，ws，rp，rs）；

[B，A]=butter（N，rp，wc）；

hfvt=fvtool（B，A）；%畫幅頻響應圖

例2：設計一個數字低通濾波器，要求濾波器階數最低。等效的模擬低通濾波指標是fp=100Hz，ap=1dB，fs=250Hz，as=60dB，采樣周期T=1ms。

解：因為題目要求濾波器的幅頻特性單調階數最低，因此選擇橢圓濾波器。MATLAB設計程序如下，濾波器幅頻響應如圖2所示，從圖2可以看出邊界頻率處的衰減均符合題目指標要求。

fp=100；fs=250；T=0.001；

wp=2*fp*T；ws=2*fs*T；

rp=1；rs=60；

[N，wc]=ellipord（wp，ws，rp，rs）；

[B，A]=ellip（N，rp，rs，wc）；

hfvt=fvtool（B，A）；

以上詳細介紹了利用MATLAB設計兩種IIR數字低通濾波器的方法，兩者的幅頻特性圖直觀地展示了巴特沃斯和橢圓濾波器的不同特點，給學生留下了深刻的印象。該方法也可以推廣到IIR高通、帶通和帶阻數字濾波器的設計。在教學中利用MATLAB仿真軟件演示數字濾波器的設計過程，可以幫助學生深入理解數字濾波器的基本理論和設計方法。

三、FIR數字濾波器的教學

有限長沖激響應（Finite Impulse Response，FIR）濾波器的設計結果是濾波器的單位脈沖響應h（n），設計方法主要有兩種：窗函數法和等波紋最佳一致逼近法。窗函數法的逼近誤差在整個頻域分布極不均勻，在誤差最小的頻段往往遠遠優于指標。指標相同時等波紋最佳一致逼近法使濾波器的階數最低，階數相同時使最大逼近誤差最小，即通帶最大衰減最小，阻帶最小衰減最大。

窗函數法的基本步驟：首先根據阻帶最小衰減選擇窗函數的類型，然后根據過渡帶寬度確定所選窗函數的長度，再調用MATLAB函數的fir1實現FIR數字濾波器的設計：hn=fir1（N，wc，ftype，window）；N為濾波器階數，等于窗長度減一；wc為過渡帶中心頻率，對π歸一化的數字頻率；ftype為濾波器類型；window為窗函數類型，常用的窗函數有海明窗（Hamming）、漢寧窗（Hanning）、布萊克曼窗（Blackman）等。上課時應重點講解如何根據設計指標選擇窗函數。

等波紋最佳一致逼近法可以利用MATLAB函數的remezord和remez來實現：[N，fo，mo，w]=remezord（f，m，rip，Fs）；hn=remez（N，fo，mo，w，ftype）.

其中，f為邊界頻率向量；m為與f對應的幅度向量；rip為各逼近頻段允許的波紋振幅（幅頻響應偏差）；Fs為采樣頻率（省略時默認為2Hz）；w為誤差加權向量。

下面通過一個案例說明如何運用MATLAB進行FIR數字濾波器設計的教學。

例：用窗函數法和等波紋最佳一致逼近法設計一個FIR帶通濾波器，要求：阻帶下截止頻率ωls=0.2π，阻帶上截止頻率ωus=0.8π，通帶下截止頻率ωlp=

0.35π，通帶上截止頻率ωup=0.65π，通帶最大衰減 ap=1dB，阻帶最小衰減as=60dB。比較兩種方法的設計結果有何不同。

解：（1）窗函數法的關鍵在于正確選擇窗函數的類型，因為阻帶最小衰減為60dB，因此只能選擇布萊克曼窗。MATLAB設計程序如下：濾波器的單位脈沖響應和幅頻響應如圖3所示，從圖3可以看出濾波器的階數為80，通帶性能指標和題目要求較為接近，而阻帶最小衰減比題目要求多了10dB左右。

wls=0.2*pi；wlp=0.35*pi；wup=0.65*pi；

B=wlp-wls； % 過渡帶寬

N=ceil（12*pi/B）； % 選擇blackman窗（過渡帶寬12*pi/N）

wc=[wlp/pi-6/N，wup/pi+6/N]；

hn=fir1（N-1，wc，blackman（N））；

（2）等波紋最佳一致逼近法的MATLAB設計程序如下：濾波器的單位脈沖響應和幅頻響應如圖4所示，從圖4可以看出濾波器的幅頻響應在通帶和阻帶都是等波紋的，濾波器的階數為28，比窗函數法的設計結果（80階）要低得多，而且等波紋最佳一致法設計的性能指標比較接近題目要求，使最大逼近誤差最小化。通過圖3和圖4的比較，直觀地展示了窗函數法和等波紋最佳一致逼近法的不同性能，大大增強了學生對抽象概念和設計方法的理解。

f=[0.2，0.35，0.65，0.8]；m=[0，1，0]；rp=1；rs=60；

deta1=（10^（rp/20）-1）/（10^（rp/20）+1）；

deta2=10^（-rs/20）；

rip=[deta2，deta1，deta2]；

[N，fo，mo，w]=remezord（f，m，rip）；

N=N+2；% remezord估算的階數偏小，需要調整

hn=remez（N，fo，mo，w）；

四、結語

筆者根據應用型本科高校人才培養的目標和需求，將MATLAB仿真引入DSP課程教學，利用MATLAB演示數字濾波器的設計過程，不僅形象生動，而且加強了課程內容之間的相互聯系，能夠充分調動學生的學習積極性與主動性，促進了學生對數字濾波器的基本理論和設計方法的理解和掌握，希望能對教學改革起到拋磚引玉的作用，以取得更好的教學效果。

參考文獻：

[1]丁玉美，高西全.數字信號處理[M].西安電子科技大學出版社，2013.

[2]胡廣書.數字信號處理導論[M].第二版.北京：清華大學出版社，2013.