正整數不含分部量2有序分拆的一些恒等式

郭 育 紅

(河西學院 數學與統計學院， 甘肅 張掖 734000 )

0 引 言

在整數分拆理論中，MacMahon[1]第一次定義了正整數的有序分拆，即把正整數n表示成一些正整數的有序和，其中每一項叫該分拆的分部量.如果不考慮分部量的順序就是無序分拆.例如，4的有序分拆有4，3+1，1+3，2+2，2+1+1，1+2+1，1+1+2，1+1+1+1共8個，而4的無序分拆有5個：4，3+1，2+2，2+1+1，1+1+1+1.有序分拆也可以表示成向量的形式.例如，上述4的8個有序分拆可記為(4)，(3 1)，(1 3)，(2 2)，(2 1 1)，(1 2 1)，(1 1 2)，(1 1 1 1).

分拆恒等式一直是分拆理論中很有趣的一部分內容，也一直是分拆理論的研究熱點之一.最近幾年，許多學者在研究整數分拆恒等式時，不僅考慮正整數不同類型的分拆數之間的關系，比如，在無序分拆的研究中，有Euler恒等式[1-2]以及相關的一系列恒等式.在有序分拆的研究中，關于分部量為奇數的分拆、分部量是1或2的分拆、分部量大于1的分拆之間也有豐富的分拆恒等式[3-5].而且，學者們也考慮了分部量出現的不同類型的頻數帶來的分拆恒等式.

2015年，Munagi等[6]在有序分拆中考慮了分部量出現的頻數問題，給出了關于正整數的In-place有序分拆的幾個恒等式.其還將有序分拆的分部量λ給出兩種形式，分別表示成λ、λ*.同時將分拆恒等式中偶分部量、奇分部量出現In-place偶數次推廣到一般的k次，k≥2，得到了更為寬泛的結果.

所謂正整數的有序分拆中分部量λ出現In-placej次是指在該分拆中，分部量λ連續出現j次.例如，分拆(2 2 2 2 3 4 4 5 5 6 6 2 2 3 1)就是一個偶分部量出現In-place偶數次的有序分拆.

2003年，Chinn等[7]討論了正整數不含分部量2的有序分拆，給出了一系列計數結果，同時還給出了正整數不含分部量2的有序分拆數的一些組合性質.設正整數不含分部量2的有序分拆數為C≠2(n)，則C≠2(n)滿足遞推關系：C≠2(0)=C≠2(1)=C≠2(2)=1，C≠2(n)=2C≠2(n-1)-C≠2(n-2)+C≠2(n-3).他們還指出在文獻[8]給出的序列中：若用a(n)表示沒有孤立的1的二進制序列數，則C≠2(n)=a(n+1)，a(n)的初始值：a(0)=0，a(1)=a(2)=a(3)=1.

本文在文獻[6-7]的基礎上，探討正整數n不含分部量2的有序分拆中的In-place恒等式，得到關于分部量1出現In-place偶數次、偶分部量出現In-place偶數次的幾個分拆恒等式.同時，研究推廣情形.另外，還討論正整數不含分部量2的有序分拆中，奇分部量有兩種形式的分拆數的生成函數及遞推關系，并給出遞推關系的組合雙射證明.

1 已知定理

定理1[9]設n≥1，正整數n的偶分部量出現偶數次的無序分拆數等于正整數n不含分部量≡2(mod 4)的無序分拆數.

定理2[6]設n≥1，正整數n的偶分部量出現In-place偶數次的有序分拆數等于正整數n不含分部量≡2(mod 4)的有序分拆數.

定理3[6]設n≥1，正整數n的奇分部量出現In-place偶數次的有序分拆數等于正整數2n的奇分部量有兩種形式的有序分拆數.

2 主要結果

首先給出正整數n不含分部量2的有序分拆中關于分部量1的In-place有序分拆的一個恒等式.

定理4正整數n的不含分部量2的有序分拆中，分部量1出現In-place偶數次(≠0)的分拆數等于n的分部量大于1，且含分部量2的有序分拆數.

反之，對于正整數n的分部量大于1，且含分部量2的有序分拆，將分部量2分拆成(1 1)，其余分部量不變，于是得到n的不含分部量2，且分部量1出現In-place偶數次(≠0)的分拆.

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例1取n=6，則6的不含分部量2，且分部量1出現In-place偶數次(≠0)的有序分拆有3個：(1 1 4)，(4 1 1)，(1 1 1 1 1 1)；同樣，6的分部量大于1，且含分部量2的有序分拆有3個：(2 4)，(4 2)，(2 2 2).

進一步推廣定理4，得到下面的結論.

定理5對于正整數l≥2，正整數n的不含分部量l，分部量1出現In-placel的倍數次(≠0)的有序分拆數等于n的分部量大于1，含分部量l的有序分拆數.

證明證法類似于定理4，故略去.

下面給出一個例子來說明該恒等式.

例2取n=10，l=3，則10的不含分部量3，分部量1出現In-place 3的倍數次的有序分拆有11個：(1 1 1 4 1 1 1)，(4 1 1 1 1 1 1)，(1 1 1 1 1 1 4)，(1 1 1 5 2)，(5 1 1 1 2)，(5 2 1 1 1)，(2 5 1 1 1)，(1 1 1 2 5)，(2 1 1 1 5)，(1 1 1 7)，(7 1 1 1).

同樣，10的分部量大于1，且含分部量3的有序分拆有以下11個：(3 4 3)，(4 3 3)，(3 3 4)，(3 5 2)，(5 3 2)，(5 2 3)，(2 5 3)，(3 2 5)，(2 3 5)，(3 7)，(7 3).

在定理2、3中，同樣考慮正整數n不含分部量2，得到了下面關于In-place有序分拆的兩個恒等式.

定理6正整數n的不含分部量2，偶分部量出現In-place偶數次的有序分拆數等于n的不含分部量4，且分部量不是≡2(mod 4)的有序分拆數.

證明類似于Munagi-Sellers在文獻[6]中的證法.對于正整數n的任何一個不含分部量4，且分部量不是≡2(mod 4)的有序分拆，做如下變換：將4k型(k>1)的分部量分拆成(2r2r)，這里r>1，其余分部量保持不變.于是，得到正整數n的不含分部量2，偶分部量出現In-place偶數次的有序分拆.反之，在正整數n的不含分部量2，偶分部量出現In-place偶數次的任意一個有序分拆中，奇分部量保持不變，將偶分部量按照從左向右的順序每兩個合并在一起，就得到4k型的分部量，由于分拆不含分部量2，于是就得到n的不含分部量4，且分部量不是≡2(mod 4)的有序分拆.

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定理7正整數2n的不含分部量4，奇分部量出現In-place偶數次的有序分拆數等于n的不含分部量2，奇分部量有兩種形式的有序分拆數.

仍沿用Munagi-Sellers的記號，將奇分部量λ的兩種形式記為λ、λ*.

證明類似于Munagi-Sellers在文獻[6]中的證法.對于正整數n的任何一個不含分部量2，奇分部量有兩種形式的有序分拆，做如下變換：將每個偶分部量μ變成2μ，把沒有帶*號的奇分部量λ變成2λ，把帶*號的奇分部量λ*變換成“λ，λ”.因為n的分拆不含分部量2，于是就得到了正整數2n的不含分部量4，奇分部量出現In-place偶數次的有序分拆.顯然，上述變換是可逆的.

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將定理7做自然的推廣，就得到下面的結論：

定理8對于偶數l≥2，正整數2n的不含分部量2l的有序分拆中，奇分部量出現In-place偶數次的分拆數等于n的不含分部量l，奇分部量有兩種形式的有序分拆數.

證明證法類似于定理7，故略去.

下面給出一個例子來說明定理8中的對應關系.

例3取n=3，l=2，則6的不含分部量4，奇分部量出現In-place偶數次的有序分拆有10個：(6)，(3 3)，(2 2 2)，(2 2 1 1)，(2 1 1 2)，(1 1 2 2)，(2 1 1 1 1)，(1 1 2 1 1)，(1 1 1 1 2)，(1 1 1 1 1 1).同樣，3的不含分部量2，奇分部量有兩種形式的有序分拆有以下10個：(3)，(3*)，(1 1 1)，(1 1 1*)，(1 1*1)，(1*1 1)，(1 1*1*)，(1*1 1*)，(1*1*1)，(1*1*1*).

在定理7中涉及正整數n的奇分部量有兩種形式的有序分拆數，下面考慮正整數n的不含分部量2，奇分部量有兩種形式的有序分拆數.考慮其生成函數.

(x4+x6+…))j=

即有下面定理：

由定理9不難得到下面關于正整數n的不含分部量2，奇分部量有兩種形式的有序分拆數的遞推關系，有下面的結論.

給出該遞推關系的組合雙射證明.

證明將正整數n的不含分部量2，奇分部量有兩種形式的有序分拆分成兩類：

(A)右端分部量是1或1*；

(B)右端分部量是t或h*，其中t>2是整數，h>3是奇數.

對于(B)類中的任一分拆，用(t-2)或(h-2)*分別代替t或h*，就得到n-2的相應分拆.反之，對于n-2的任一個不含分部量2，奇分部量有兩種形式的有序分拆β，設其右端的分部量是r(r≠2)或s*，s是奇數，用(r+2)或(s+2)*分別代替r或s*，就得到n的右端分部量不是1或1*的相應分拆.

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3 結 語

在整數分拆理論中，分拆恒等式的研究一直是研究熱點，而對帶約束條件正整數有序分拆恒等式的探討還不是很深入.本文主要研究了正整數n不含分部量2的有序分拆中的分部量1出現In-place偶數次、偶分部量出現In-place偶數次的分拆恒等式，得到了幾個有趣的分拆恒等式.另外，還討論了正整數n不含分部量2的有序分拆中，奇分部量有兩種形式的分拆數的生成函數，并給出了該分拆數的遞推關系的組合雙射證明.這些結果在理論上進一步豐富了整數分拆恒等式，同時也為尋找整數分拆恒等式的組合雙射提供了一些方法.