變權TOPSIS評價的導彈總體參數粒子群優化設計方法*

周 偉，羅建軍，強洪夫，謝 飛

(1.西北工業大學 航天學院，航天飛行動力學技術重點實驗室，西安 710072；2.火箭軍工程大學，西安 710025)

0 引言

彈武器總體設計是一項復雜的系統工程，它具有多學科融合、多因素耦合、多變量聯合的突出特征，特別是在總體設計的初期——概念設計階段，由于缺少背景型號作參考，其設計過程更加難于把握，往往帶有一定的經驗性和不確定性。

導彈總體參數是反映導彈武器設計先進性的重要指標，對導彈工程研制與裝備使用均具有十分重要的作用。因此，各國對導彈總體參數的設計和選擇都給予了高度重視。目前，導彈總體參數設計選擇主要采用兩種方法，即解析的方法[1-2]和基于優化設計的方法[3-4]。解析的方法以經驗或半經驗估算設計參數為基礎，依據對各參數變化的敏感性分析來修正設計參數，逐次逼近以求得一組比較理想的設計參數集。該方法的主要優點是物理概念清晰，但設計過程繁瑣，精度較差。基于優化設計的方法實質是基于優化理論，利用計算機對滿足約束條件的一定數量設計方案進行快速自動尋優，最后優選出滿足條件的最優方案，即一組最優的總體設計參數。該方法的優點是計算精度較高，可借助計算機大大縮短研制周期，但優化模型的建立，特別是優化目標的選取原則，很大程度上決定了優選解的可行性和合理性。陳江寧[5]采用GA(Genetic Algorithm)與Powell混合算法以液體火箭發動機推進彈道式導彈的起飛質量最小為目標，對液體推進劑彈道式導彈設計參數進行了優化設計；劉欣[6]利用Gauss偽譜法對全彈道進行優化設計，并以射程最大為優化目標，分析了起飛質量、主動段終端傾角等參數對導彈射程的影響。此類研究都屬于以某一戰術技術指標為優化目標的單一目標優化問題。導彈總體設計中起飛質量、有效載荷、射程、推力等指標參數的綜合是一個典型的多屬性目標優化問題。隨著導彈總體設計復雜程度的逐漸提高，近年來發展的多學科設計優化方法應用于導彈總體參數的優化設計中。陳琪鋒[7]提出一種合作協同進化的MDO(多學科優化)算法，并將該算法應用于導彈總體參數優化設計中，以導彈起飛質量最小為目標，得到了滿足多學科約束條件的導彈氣動-發動機-控制參數；張菲[8]建立了集氣動、推進、彈道學科的導彈多學科分析模型，通過集成各自的參數化程序模塊，得到以射程為優化目標并滿足相關約束的導彈總體參數最優方案。上述文獻使用MDO方法雖然考慮了多門學科間的互動關聯，但由于涉及學科門類多，各學科模型建立和求解復雜，在導彈概念設計階段往往難于使用從而導致操作性和應用性不強。

為解決傳統的單目標優化方法難以滿足導彈總體多參數優化需求，而MDO方法因模型復雜難于在導彈概念設計階段使用的問題。本文在粒子群優化方法的基礎上，針對導彈總體參數多指標、多屬性的特點，引入系統綜合評價TOPSIS方法[9]，提出了基于變權TOPSIS和粒子群算法融合的導彈總體參數多屬性綜合優化設計方法，用于某型彈道導彈的總體方案設計論證。

1 彈道導彈總體參數

彈道導彈總體參數是指能夠確定導彈飛行彈道主要特征和結構基本特征的一些主要參數。總體參數設計就是指導彈的主要總體參數的設計與選擇。典型的彈道導彈總體設計參數一般包括如下8項：

(1)導彈起飛質量m0

導彈起飛質量m0即導彈起飛前豎立在發射臺上時的總質量。雖然導彈起飛質量不直接影響飛行速度，但是它與導彈結構參數密切相關，也是確定導彈基本特征的重要參數。

(2)結構比μk

μk為導彈推進劑全部燃燒完后剩余的結構質量mk與起飛質量m0之比，即

μk=mk/m0

(1)

可見，在相同的起飛質量下，μk越小，意味著導彈結構質量越小，相應的可攜帶的推進劑就越多，導彈的結構也更優越。因此，μk是衡量導彈結構優劣的主要參數之一。

(3)地面重推比N0

N0為導彈起飛重量與火箭發動機地面額定推力之比，即

N0=m0g0/F0

(2)

N0越小表示導彈的加速性能越好，達到一定飛行速度的時間越短，從而使引力造成的速度損失減小。但N0不宜太小，因為加速度太大，將會要求導彈及其彈載儀器設備需具有更高的結構強度，這必將使導彈的結構重量增加。

(4)地面比沖Isp.o

(3)

地面比沖反映了火箭推進劑地面質量秒消耗量所產生的地面推力，是衡量火箭發動機性能的重要指標之一。在地面推力一定時，Isp.o越大，則表示單位時間所消耗的推進劑重量越少。比沖主要取決于發動機所使用的推進劑以及發動機工作情況。

(5)發動機高空特性系數a

火箭發動機真空比沖與地面比沖之比，即

a=Isp.v/Isp.o

(4)

發動機高空特性系數反映了火箭發動機高空工作性能的高低，通常其變化范圍較小，為1.10～1.15之間[3,10]。

(6)起飛截面負荷Pm

為導彈起飛重量與其最大橫截面積之比，即

Pm=m0g0/SM

(5)

導彈起飛重量一定時，SM越小，則Pm越大，導彈就越細長。所以，Pm直接與導彈的長細比有關，而導彈的長細比直接影響導彈的空氣動力，故Pm也稱為空氣動力特性參數。

(7)理想時間參數T

將導彈起飛質量視為全部為推進劑情況下，按照質量秒消耗量燃燒完所有質量所需的時間，即

(6)

T為理想時間，不是獨立參數，可用地面比沖Isp.o、地面重推比N0來表示：

T=N0·Isp.v

(7)

(8)導彈射程L

彈道導彈的射程取決于導彈關機點所獲得的末速度，因此根據導彈全射程公式可得到如下關系：

(8)

其中，K為射程修正系數，通常選擇1.04～1.07；Vk為導彈關機點飛行速度，可以用理想速度及引力、阻力和大氣靜壓引起的速度損失來表示，即

(9)

考慮到：

(10)

其中，T為理想時間，可用地面比沖Isp.o、地面重推比N0來表示：T=N0·Isp.v。

則有：

dt=-Tdμ

(11)

因此，引力、阻力和大氣靜壓引起的速度損失通過上述置換變量后，可推導得[10-11]：

(12)

(13)

(14)

式中Pm為導彈起飛重量與其最大橫截面積之比，Pm=m0g0/SM；a為發動機高空特性系數，火箭發動機真空比沖與地面比沖之比，a=Isp.vIsp.o。

計算ΔVg時，θ(μ)與導彈的飛行程序有關，在概念設計階段常采用一類二次曲線函數來過渡連接彈道垂直段終點和瞄準段起點，計算中函數取值如下：

(15)

綜上所述，導彈總體設計參數分別為導彈起飛質量m0、結構比μk、地面重推比N0、地面比沖Isp.o、發動機高空特性系數a、起飛截面載荷Pm、理想時間參數T、導彈全射程L。

2 TOPSIS多屬性粒子群優化方法

2.1 粒子群優化算法

粒子群優化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)是一種群體智能優化計算技術，算法基于迭代隨機搜索優化機制，具有概念簡單、便于實現、參數較少和無需梯度信息等優點，一經提出就得到了眾多學者的普遍關注，目前在圖像處理、信息挖掘、模式識別、路徑優化以及人工智能等領域得到廣泛應用[12,13]。

pij(t+1)=pij(t)+vij(t+1)

(16)

式中i=1,2,…,n;j=1,2,…,d;t為粒子群進化代數；c1和c2為正的學習因子；r1和r2為0～1之間均勻分布的隨機數。

為了平衡粒子群算法的全局探索能力和局部開發能力，采用動態縮減慣性權重系數表達如式：

(17)

式中ωmax、ωmin分別為ω的最大值和最小值；t為當前迭代步數；tmax為最大迭代步數。

2.2 變權TOPSIS評價方法

變權TOPSIS評價方法的核心思想是：原始數據矩陣歸一化，考慮到原始方法中評價方案的常權系數在很多決策情況下會出現不合理現象[14,15]。因此基于信息熵概念計算獲得方案評價指標的常權系數[9]，構造狀態變權向量，獲得加權決策矩陣，對歸一化后的加權矩陣確定理想的最佳和最差方案，然后求出被評方案與最佳和最差方案之間的距離，最終通過計算歐氏距離得出被評方案與最佳方案的接近程度，并根據求出的結果作為評價各方案優劣的依據。具體計算步驟如下[16]：

Step 1：形成決策矩陣

若參與評價的多指標決策問題的方案集為M=(M1,…Mj,…,Mn)，指標集為D=(D1,…Dj,…,Dd)，則決策矩陣X為

(18)

Step 2：無量綱化決策矩陣

為了消除各指標量綱不同對方案決策帶來的影響，構建無量綱化標準矩陣V=(vij)nxd：

對于越大越優型指標：

(19)

對于越小越優型指標：

(20)

式(19)、式(20)中max(xj)、min(xj)分別為第j個指標的最大值和最小值。

Step 3：構建加權決策矩陣

將各指標變權重W與無量綱化矩陣V，Hadamard乘積，得到加權決策矩陣R=(rij)nxd：

rij=Wij·vij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,d)

(21)

式(13)中，Wij為各指標的變權重值，可通過構造如式(22)的函數獲得：

(22)

式中i=1,2,…,n；j=1,2,…,d；wj為方案優選第j項指標的常權系數，具體計算過程可參考文獻[8]。

Step 4：計算正理想解與負理想解

(23)

(24)

Step 5：計算各方案與正理想解、負理想解間的距離

在計算時，采用歐式距離表示距正、負理想解間的距離：

(25)

(26)

Step 6：計算各方案與正理想解的相對貼近度

各方案與正理想解的相對貼近度ηi表示為

(27)

ηi越大，決策方案Mi越接近正理想解，方案越優[9]。

2.3 多屬性綜合評價優化方法

將粒子群方法與TOPSIS綜合評價有機結合起來，隨機初始化粒子位置x=(xi1,xi2,…,xid)和速度v=(vi1,vi2,…,vid)，以每一粒子位置模擬一組導彈總體設計可行方案Mj，粒子維度d代表了不同屬性參數，粒子群則表征了某時刻導彈總體設計可行方案的集合M=(M1,…Mj,…,Mm)。根據導彈總體參數模型分別計算各方案的 個指標值，進而形成決策矩陣X。

pij(t+1)=pij(t)+vij(t+1)

(28)

式中i=1,2,…,n；j=1,2,…,d；t為粒子群進化代數；ω為慣性權重；c1和c2為正的學習因子；r1和r2為0～1之間均勻分布的隨機數。

以更新后的粒子值模擬新的導彈總體設計方案集合，再次運用TOPSIS方法綜合評價各方案，依次迭代直到滿足迭代次數要求或達到計算精度停止優化。得到的全局最優數值解即為一組滿足設計要求的導彈總體參數。具體計算流程如圖1所示。

因此，多屬性綜合評價優化方法的優化模型表達為

(29)

圖1 TOPSIS綜合評價粒子群優化算法流程圖Fig.1 Flow chart of TOPSIS comprehensive evaluation particle swarm optimization algorithm

3 優化設計實例

3.1 參數與需求

以某型單級固體彈道導彈總體設計為例，給定設計變量及其取值如表1所示。

在設計空間，根據前述參數理論分析結果，確定優化導彈設計參數及選擇屬性滿足表2要求。

表1 設計變量及取值范圍Table1 Design variables and range of values

注：1)有效載荷質量(即彈頭總質量)既包括戰斗部質量也包括彈頭結構質量；2)表示該物理量為無量綱系數。

為了更好地對比本文算法的綜合評價優化設計效果，引入導彈總體設計參數傳統單目標優化方法作為比照算法進行對比分析。傳統總體參數優化往往選擇射程為單一優化目標，其數學模型如下所示[3]：

(30)

式中L為導彈的射程，其余參數與上文所述一致。

表2 參數屬性及優化目標Table2 Parameter attributes and optimization goals

3.2 總體參數優化

按照粒子群優化算法要求，設定粒子種群規模為psize=40，進化代數為N=40次，計算維度為總體設計參數(屬性)個數即d=8，選取學習因子c1=2，c2=2，ωmax=0.9，ωmin=0.6。

由信息熵計算所得各級指標的常權重以及指標指示如表3所示。其中，F為指標指示，ω為各指標常權重，↑為該指標為越大越優型，↓為越小越優型。

表3 指標的常權重及指標指示Table3 Indicator's weight and indicator

算法在MATLAB2013b(64-bit)數值計算軟件中實現，運行環境為Win7雙核，4 GB內存，3.0 GHz CPU。依次計算TOPSIS綜合評價步驟Step2～Step6，采用歐氏距離計算各方案與正理想解的相對貼近度。根據各方案相對貼近度作為優化目標，采用式(20)迭代計算粒子群速度、位置更新值，直至粒子群優化算法終止，圖2為兩種方法經過歸一化后的計算收斂過程，所達到的全局最優解即為所求的導彈總體參數最優設計。

將計算結果匯總于表4，其中前8項為總體設計參數優化計算結果。

4 結果分析

從圖2所示的算法收斂性上分析，在相同條件下，本文算法較比照算法具有較好的收斂性。本文算法雖然較比照算法計算時間長約5.25%(見表4)，但算法收斂速度相對較快，第7次迭代就已接近算法最優值，第29次則達到算法近似最優值。比照算法則收斂性較慢，直到40次迭代才接近算法最優水平(偏差21.5%)，只有增大優化迭代次數才能使算法收斂到允許誤差精度。

圖2 計算收斂過程Fig.2 Convergence process of Calculation

注：1)該項為無量綱系數；(+)為本文算法結果大于比照算法結果;(-)為本文算法結果小于比照算法結果。

由表4的計算結果分析可知，比照算法結果雖然較本文算法結果在射程、起飛重量、理想時間參數以及計算耗時等指標方面略有優勢(最大比差11.75%)，但在結構比、有效載荷質量、結構質量等關鍵指標上卻遠落后于本文算法(最小比差23.93%)。本文算法與比照算法在其它參數如地面比沖、起飛截面載荷、發動機高空特性系數、重推比上基本相當，且較之更優。

從運載能力方面分析，本文算法雖未降低起飛質量，但在推進劑質量變化不大(增加0.036%)的前提下，大幅提高了比照算法中有效載荷質量(載荷比由0.06～0.095)，說明運載器在未降低系統總體需求的前提下的運載能力確實提高了。此外，導彈級的結構質量降低了236.401 kg，降低的結構質量成為增加的推進劑質量(有效質量)，從而一定程度提高了動力系統能力和運載能力。

為量化對比本文算法結果與比照算法的優劣，將各指標比差繪制直方圖，如圖3所示。從算法原理上分析，比照算法只有單一優化目標，即射程最大。為保證射程最大，比照算法在自變量約束條件下并不考慮諸相關參數的變化和影響。因此，得到的方案射程指標較大，但該方案明顯減小了有效載荷質量，增大了結構質量，降低了結構比，從而使導彈總體效能大幅降低。本文算法則通過TOPSIS綜合評價方法，同時尋求多個總體設計參數(本文為8個)逼近最優解的優化設計方案，突出了系統綜合最優理念。因此，在總體參數設計與方案選擇上較傳統比照算法更優更全面，這點從兩種算法結果繪制的雷達圖(圖4)上可對比看出。

圖4 算例雷達圖Fig.4 Radar Chart of example

5 結論

(1)本文所提出的基于變權TOPSIS和粒子群算法融合的導彈總體參數多屬性綜合優化設計方法成功用于某型彈道導彈總體方案設計論證中，具備處理多參數、多屬性綜合尋優的計算能力。該方法物理意義清晰明確，使用簡單，易于編程實現，結果具較高的置信度。

(2)方法采用了基于信息熵變權綜合的權重分析方法，科學確定指標權重分布及權值，較好地解決了指標權重W對評價結果有較大影響的問題。

(3)計算結果合理可信，且具有較好的收斂性，計算量與單一目標優化比照算法相當，算法效率則明顯較高。

(4)該方法為航天領域廣泛涉及的多方案、多指標、多層次復雜問題快速優選、排序和決策也提供了一種新的思路和方法。