頻率分集陣列“點”型發射方向圖綜合方法*

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(南京理工大學電子工程與光電技術學院， 江蘇南京 210094)

0 引言

頻率分集陣列(Frequency Diversity Array，FDA)由Antonik等于2006年提出[1-2]。FDA和傳統陣列的不同之處在于每個陣元發射信號都有著相比于載頻很小的頻移而不是相移。文獻[3-4]利用實驗證實了陣列波束指向與距離和陣元間線性頻率偏移量有關，利用這種頻率偏移就可以使發射方向圖成為一個關于距離-角度-時間的函數[5]，且由于不需要移相器因而功耗更小[6]。

早先基于線性頻率偏移的FDA[7-10]綜合得出的距離-角度相關發射方向圖是“S”型，且存在周期性，故能量集中度并不理想。為了設計出聚焦度更高的“點”型發射方向圖，文獻[11]提出一種利用對數形式的頻率偏移的FDA方案，能使方向圖在目標位置達到最大值，但這種方法的“點”型發射方向圖在角度維和距離維分辨率并不理想，尤其是在距離維上分辨率低。文獻[12]在其基礎上設計了一種多載頻和非線性頻率偏移相結合的方向圖綜合優化方法，仿真結果表明該方法能將能量聚焦至目標處，呈現出“點”型方向圖，不存在周期性旁瓣值，不足之處是每個陣元的發射功率差距較大，且就分辨率而言仍有優化的空間。

本文基于文獻[12]對陣列結構和信號設計進行研究，采用指數形式頻率偏移量，理論分析綜合算法并推導加權矩陣表達式，實現“點”型方向圖綜合。為提升分辨率并抑制旁瓣提出一種改進型的多重頻率變量綜合方法，利用凸優化算法對加權矩陣進行設計，在確保方向圖于不感興趣區域的功率達到最小的條件下，使得每個陣元發射功率相近。

1 “點”型角度-距離相關發射方向圖模型

1.1 陣列結構與信號設計

如圖1所示，假設天線結構每個陣元之間的間隔為d。P為在遠場的觀察點，Rn為第n個陣元到P點的距離。設中心陣元為參考點，θ為方位角。信號設計采用與傳統FDA不同的頻率偏移量函數，同時每個陣元含有多個信號分量。

設fn,m為第n個陣元中第m個頻率分量，可表示成如下形式：

fn,m=f0+Δfn+Δfm

-N≤n≤N,0≤m≤M

(1)

式中，f0為載頻，一共有2N+1個陣元，每個陣元發射M+1個分量，各頻率間隔滿足指數形式，Δfn和Δfm分別定義為

Δfn=Δf×e|n|, -N≤n≤N

Δfm=Δf×em, 0≤m≤M

(2)

式中，Δf滿足Δf?f0，采用指數形式非線性函數的目的是為了消除方向圖的周期性，盡可能降低旁瓣。

第n個陣元中的第m個被傳輸的信號分量可以表示為

xn,m(t)=wn,mej2πfn,mt

-N≤n≤N,0≤m≤M

(3)

式中,wn,m為第n個陣元中第m個信號分量的權重，傳播到觀察點(R,θ)處的信號可表示為

-N≤n≤N,0≤m≤M

(4)

假設目標在遠場，則每個陣元的方位角都近似相同，即

Rn≈R-ndsinθ

(5)

那么在(R,θ)處的所有信號疊加的結果為

(6)

將式(1)和式(2)代入式(6)中可得

(7)

由于f0?Δf(e|n|+em)，則式(7)可以進一步近似為

(8)

1.2 “點”型發射方向圖綜合算法

由式(8)可得出在遠場(R,θ)處的發射信號輻射功率，即FDA陣列發射方向圖可以表示為

B(t;R,θ)=

(9)

此方向圖是時間-距離-角度相關，為分析距離-角度相關方向圖，現將t值固定，為方便分析令t=0。從式(9)中可以明顯看出當t=0時，R=0,θ=0則方向圖值取得最大，為了使得在目標點(Rt,θt) 處達到最大可以定義權重wn,m為

(10)

將式(10)代入式(9)后方向圖可表示為

(11)

上述研究對文獻[12]中“點”型發射方向圖綜合算法進行理論分析，利用公式推導得出第n個陣元中第m個子信號的加權量wn,m的表達式，通過計算實現“點”型方向圖的綜合，可以獲得與文獻[12]相同的聚焦效果。

2 改進型“點”型發射方向圖綜合算法

由于1.2節中描述的綜合算法的加權矩陣是權1矩陣，因此聚焦分辨率并沒有提升。下面對加權矩陣進行設計，利用凸優化理論優化加權量wn,m，并控制其值的大小，令其小于一個固定值，即

|wn,m|≤τ

(12)

定義一個[(M+1)(2N+1)]×1維的向量：

a(R,θ)=[a-N(R,θ),…，

an(R,θ),…，aN(R,θ)]T

(13)

式中，an(R,θ)是一個1×(M+1)維的向量：

(14)

綜合上文所述，首先對空域進行分隔，令Ξt表示波束需要聚焦的空域,Ξs為旁瓣區域。為方便分析，對這兩個空域進行離散化處理，離散點分別為(Rt,θt)和(Rs,θs)，個數分別為T和S，(R′,θ′) 是目標點P。隨后對于輻射至旁瓣區域Ξs的功率約束，使其最小，結合式(12)～式(14)可以得到基于凸優化理論的優化模型：

(15)

WHa(Rt,θt)=(M+1)(2N+1),t=1,…,T

|wn,m|≤τ， -N≤n≤N,0≤m≤M

式中，W表示[(M+1)(2N+1)]×1的加權矩陣：

W=[w-N,0,w-N,1,…,wn,0,wn,1,…,wn,M,…,wN,0,wN,1,…,wN,M]T

(16)

最后利用Matlab仿真軟件中的凸優化工具CVX可實現對提出模型的求解。

3 仿真驗證

利用Matlab軟件對提出的方法進行驗證。假設FDA的發射陣元數為17，每個陣元之間的間距為最大波長的一半。每個陣元發射信號均包含8個基信號，載波頻率f0為8 GHz，頻率偏移量Δf=3 kHz。為分析距離-角度相關方向圖，取t=0，R=[0∶10∶1 000]km，θ=[0°∶1°∶90°]。假設目標點在(520 km,25°)處，則不感興趣區域即旁瓣區域設置為：Rs=[0∶10∶490]∪[540∶10∶1 000]km和θs=[0°∶1°∶22°]∪[28°∶1°∶90°]，總共離散化9 191個點，旁瓣區域離散化點數為9 166，加權矩陣值控制量取τ=3。

圖2(a)是文獻[12]中得出的綜合結果，圖2(b)是本文使用指數形式頻偏量并用理論推導加權矩陣的發射方向圖綜合結果,圖2(c)和圖2(d)分別是改進型利用凸優化理論所得發射方向圖的歸一化和轉換成dB值后的三維視圖，圖2(e)為文獻[12]得出的三維視圖。可以看出聚焦精度獲得了明顯提升，且旁瓣更低。

為清晰看出本文方法的精度優勢，作出在目標點(520 km,25°)處的二維成像圖，圖3(a)和圖3(b)分別為25°和520 km處的成像圖。同時作出在24°和510 km處的成像結果圖3(c)和圖3(d)進行比較，角度維和距離維聚焦精度分別在1°和10 km以內。

表1展示的是本文提出的算法所得的加權矩陣，每個基信號的幅度值都控制在一定范圍內。圖4(a)是本文計算得出的歸一化后單個陣元發射功率分布圖，從圖4(a)可以看出本文所得的加權矩陣可以使陣列天線的每個陣元發射功率相近，有益于發射功率的利用，相較于文獻[12]中單個陣元功率分布(圖4(b))結果更優。

表1 改進型優化算法加權矩陣W

4 結束語

基于多載頻對數頻偏綜合算法在分辨率和陣元間發射功率均衡性方面存在的不足，本文理論分析了以指數形式頻率偏移量為基礎、加權矩陣為權1矩陣的綜合算法，利用公式推導出加權矩陣的表達式并實現聚焦。同時提出改進型利用凸優化理論優化加權矩陣的綜合算法，使得每個陣元的發射功率更加均勻，提升了聚焦精度，進一步降低了輻射至不感興趣區域的功率，算法有效性得到提升。