基于因子圖的自適應(yīng)波束形成*

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(海軍大連艦艇學(xué)院， 遼寧大連 116018)

0 引言

因子圖是一類應(yīng)用非常廣泛的圖模型[1]，它在信道估計(jì)、解碼等通信理論以及檢測(cè)和估計(jì)理論中有大量的應(yīng)用[2-3]。常見的因子圖有兩種形式，最早的是1981年Tanner提出的用來簡(jiǎn)化解碼問題的Tanner圖[4]，后來在2001年Forney提出了另外一種稱為Forney圖的因子圖[5]，本文中主要討論Forney圖，對(duì)Tanner圖不作詳細(xì)的解釋。大量的研究文獻(xiàn)用因子圖的方法實(shí)現(xiàn)了傅里葉變換、最大期望算法、卡爾曼濾波等許多信號(hào)處理中常見的算法[6]。目前還未見到因子圖理論在雷達(dá)信號(hào)處理技術(shù)中的應(yīng)用，本文通過因子圖上的高斯消息傳遞實(shí)現(xiàn)相控陣?yán)走_(dá)中常用的自適應(yīng)波束形成技術(shù)[7]。

因子圖和消息傳遞算法是不可分離的，通過在因子圖上執(zhí)行消息傳遞算法來實(shí)現(xiàn)相關(guān)變量的估計(jì)。常見的消息傳遞算法主要包括和積算法和最大積算法[8]，在因子圖上執(zhí)行消息傳遞算法可以得到消息更新規(guī)則進(jìn)而估計(jì)出任意變量的值。

自適應(yīng)波束形成(ADBF)技術(shù)是相控陣?yán)走_(dá)[9]中非常重要的一種技術(shù)，它可以根據(jù)環(huán)境信息的變化，自適應(yīng)地調(diào)整空域?yàn)V波器的權(quán)系數(shù)，使得空域?yàn)V波器在干擾方向形成很深的零陷，在目標(biāo)信號(hào)方向形成主瓣，進(jìn)而最大限度接收目標(biāo)信號(hào)，抑制干擾信號(hào)。自適應(yīng)波束形成技術(shù)常用3種準(zhǔn)則來實(shí)現(xiàn)，即最小均方誤差(MMSE)準(zhǔn)則、最大信噪比(MSNR)準(zhǔn)則、線性約束最小方差(LCMV)準(zhǔn)則[10]。對(duì)最小均方誤差(MMSE)準(zhǔn)則進(jìn)行進(jìn)一步推廣可以得到基于迭代最小二乘(RLS)算法的自適應(yīng)波束形成技術(shù)。本文用因子圖方法實(shí)現(xiàn)基于迭代最小二乘(RLS)的自適應(yīng)波束形成。

1 基于迭代最小二乘(RLS)算法的自適應(yīng)波束形成模型

(1)

(2)

式中，e(t)為估計(jì)信號(hào)與期望輸出信號(hào)的估計(jì)誤差。對(duì)時(shí)域連續(xù)信號(hào)進(jìn)行離散化，離散化之后該模型可表示為

(3)

(4)

式中，k表示離散時(shí)間。為了后邊使用方便將式(3)重寫為

(5)

以最小均方誤差為準(zhǔn)則，求解權(quán)系數(shù)等價(jià)于如下無約束最優(yōu)化問題：

(6)

式中：

(7)

式(3)～式(6)描述的是離散時(shí)間自適應(yīng)波束形成模型，對(duì)該問題的求解可以用迭代最小二乘(RLS)算法[11]，最后可得到k時(shí)刻權(quán)系數(shù)的最小二乘解。在本節(jié)中，建立起該問題的模型，但并不求解它。在下一節(jié)中，將用基于因子圖上消息傳遞的觀點(diǎn)求解這個(gè)迭代最小二乘(RLS)問題。

2 自適應(yīng)波束形成的因子圖實(shí)現(xiàn)

2.1 因子圖與和積算法原理

在本小節(jié)，非常簡(jiǎn)要地介紹Forney因子圖與和積算法的一般性原理。Forney因子圖上包括邊和節(jié)點(diǎn)，一條邊代表一個(gè)變量，一個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)局部函數(shù)，一條邊與一個(gè)局部函數(shù)節(jié)點(diǎn)相連代表該局部函數(shù)中含有這條邊表示的變量，所有局部函數(shù)的積即為全局函數(shù)[8]。圖2是基于RLS算法的自適應(yīng)波束形成的因子圖表達(dá)。

和積算法用來計(jì)算因子圖上的消息傳遞，因子圖上的消息傳遞包括函數(shù)節(jié)點(diǎn)傳向變量節(jié)點(diǎn)的消息，以及由變量節(jié)點(diǎn)傳向函數(shù)節(jié)點(diǎn)的消息，兩類消息的計(jì)算公式如下[12]：

1)μx→f(x)表示從變量節(jié)點(diǎn)x到函數(shù)節(jié)點(diǎn)f的消息：

(8)

2)μf→x(x)表示從函數(shù)節(jié)點(diǎn)f到變量節(jié)點(diǎn)x的消息：

(9)

式中，X=n(f)表示與局部函數(shù)f相關(guān)的全體變量，n(x)表示與變量x相關(guān)的所有局部函數(shù)的集合。

2.2 自適應(yīng)波束形成的因子圖表達(dá)及消息更新規(guī)則

假設(shè)期望信號(hào)的估計(jì)誤差ek服從均值為0、方差為σ2的高斯分布，因子圖上的消息均為高斯消息。基于RLS算法的自適應(yīng)波束形成模型用因子圖表達(dá)出來如圖2所示，最小化式(6)等價(jià)于最大化：

(10)

(11)

根據(jù)最大似然估計(jì)理論，權(quán)系數(shù)Wk的估計(jì)值[6]為

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

在本小節(jié)中用因子圖上高斯消息傳遞的觀點(diǎn)求出了基于RLS算法的自適應(yīng)波束形成權(quán)系數(shù)。下面將通過數(shù)字仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的有效性。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

由圖5的仿真結(jié)果可以看出，在0°方向形成了主波束，在20°和40°處分別形成了兩個(gè)“零點(diǎn)”抑制這兩個(gè)方向的干擾。仿真結(jié)果表明，從圖模型的觀點(diǎn)出發(fā)，采用因子圖上消息傳遞的方法可以實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)波束形成。

4 結(jié)束語

因子圖理論和消息傳遞算法在求解復(fù)雜問題時(shí)具有很大的優(yōu)勢(shì)，因此在通信和檢測(cè)估計(jì)領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用，但目前在雷達(dá)信號(hào)處理領(lǐng)域的應(yīng)用非常少。本文將因子圖理論和消息傳遞算法應(yīng)用到了相控陣?yán)走_(dá)的自適應(yīng)波束形成技術(shù)中，理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)證明了該方法的有效性。本文所提方法是自適應(yīng)波束形成技術(shù)從圖模型的觀點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)的一種新方法，雷達(dá)信號(hào)處理中有很多復(fù)雜問題如參數(shù)估計(jì)、目標(biāo)檢測(cè)都可能通過圖模型進(jìn)一步簡(jiǎn)化實(shí)現(xiàn)，這些問題需要將來進(jìn)一步研究。