圓排列的求法及應(yīng)用舉例

徐慶斌

【摘 要】 圓排列不同于線排列，本文通過(guò)幾個(gè)典型的圓排列的應(yīng)用舉例，試圖探究一些簡(jiǎn)單的圓排列的求法。

【關(guān)鍵詞】 圓排列；求法；應(yīng)用

近幾年在高考模擬及數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)圓排列的問(wèn)題，由于在圓排列問(wèn)題中，只有在元素不同或元素相同，但順序不同時(shí)，才是不同的排列，與線型的排列不同，這樣給求解帶來(lái)很大的難度。解題中用常規(guī)的方法也很難湊效。

首先，要對(duì)圓排列進(jìn)行初步的認(rèn)識(shí)，對(duì)于初學(xué)者來(lái)講，要弄清什么是圓排列，圓排列有哪些特點(diǎn)。

（1）由n個(gè)元素中，每次取出m個(gè)元素排成一個(gè)圓構(gòu)成的排列，叫做一個(gè)圓排列。

（2）圓排列有三個(gè)特點(diǎn)：（i）無(wú)頭無(wú)尾；（ii）按照同一方向轉(zhuǎn)換后仍是同一排列；（iii）兩個(gè)圓排列只有在元素不同或者元素雖然相同，但元素之間的順序不同，才是不同的圓排列。

通過(guò)以下問(wèn)題探究圓排列的問(wèn)題的解法。

一、沒(méi)有附加條件的圓排列

例1：由五個(gè)不同的珠子串成一個(gè)圓環(huán)，有多少種排列？

解析：由五個(gè)不同的珠子串成一個(gè)圓環(huán)，正面有4！種。但圓環(huán)反過(guò)來(lái)，另一面如果和正面的順序相反，也是同一排列，故共有排列數(shù)為■=12種。

注意：任意一個(gè)正反面不同的圓排列，一定存在一個(gè)圓排列是它的反面，這個(gè)反面的順序和正面不同，剛好和正面中位置相反的一個(gè)排列是相同的，在考慮圓排列時(shí)需要注意這一點(diǎn)。另外，由于圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)，雖然位置發(fā)生了改變，但其相鄰的位置都沒(méi)有改變，它們還是同一個(gè)排列。

例2：有10個(gè)學(xué)生，從中抽出5個(gè)學(xué)生圍成一圈做游戲，問(wèn)有多少種不同的排列方式。

解析：從10個(gè)學(xué)生抽取5個(gè)按順序排列有A105種不同的排列，但是圍成的是圓環(huán)，無(wú)頭無(wú)尾，因此還應(yīng)除取5，即有■=6048種組合方式。

二、有附加條件的圓排列

例3：將12個(gè)學(xué)生任意排成一個(gè)圓圈做游戲，求恰有兩人排在甲、乙之間的排法有多少種？

解：該過(guò)程可以分為兩個(gè)階段進(jìn)行，選10個(gè)學(xué)生中的任意兩個(gè)學(xué)生排在甲、乙之間，并作直線排列，有2A102種不同的排法。當(dāng)恰有兩人排在甲乙兩人之間的一種排法取定之后，把這四個(gè)人的這種排法看成一個(gè)整體，再與剩余8個(gè)學(xué)生一起任意排成一個(gè)圓圈，并注意到要考慮順逆時(shí)針?lè)较颍汕筮@種圓排列的種數(shù)為■，顯然，第一個(gè)階段的任一種排法與第二階段的任一種排法搭配都可以成整個(gè)過(guò)程的一種排法，因此，所求排列數(shù)是■=20×9！=7257600。

例4：有5對(duì)夫婦圍成一圈，使每一對(duì)夫婦的夫妻二人都相鄰的排列有多少種？

解析：本例中可優(yōu)先考慮男士或女士一方，先做一個(gè)圓排列，然后，再插空處理剩余一方必須相鄰。

第一步：先由五個(gè)丈夫先排成一個(gè)圓，其排列數(shù)為4！=24種。

第二步：由每個(gè)妻子依次在丈夫身邊的兩個(gè)位置選定其中的一個(gè)有32種。所以構(gòu)成圓排列數(shù)為24×32=768種。

小結(jié)：在圓排列數(shù)中：

（1）n個(gè)元素圍成一圈其圓排列數(shù)為（n-1）！

（2）在n個(gè)元素中，每次取出m個(gè)不同的元素進(jìn)行圓排列，圓排列數(shù)為■。

（3）當(dāng)從n個(gè)相異的元素中，每次取出m顆串成一個(gè)圓環(huán)，因其正反相對(duì)的兩個(gè)圓排列在串成一個(gè)圓環(huán)時(shí)完全相同，故圓環(huán)數(shù)為■。對(duì)于較復(fù)雜的問(wèn)題，可適當(dāng)采用分步插入、捆綁及利用種數(shù)公式處理。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 黃友誼. 圓排列的相嵌與組合的分類枚舉[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010（21）.