圓的那些事兒

劉善娜

（作者單位：浙江寧波市奉化區實驗小學）

【教學時機】

人教版六年級上冊，圓的周長與面積學習完畢后，學畫與圓相關的草圖。

【教學過程】

一、回顧“圓出于方”

師：“圓出于方”，請迅速用一個草圖來解釋這句話。

小結：正多邊形的邊越來越短，越來越接近圓，圓是正無數邊形。

【設計意圖：學生在學習“圓的面積”相關內容時，從教材或者教師的課件中一般會接觸到“圓出于方”的知識和圖像，積累了一定的圖像經驗，但囿于精確作圖的難度，學生都沒有動手畫“圓出于方”的經歷。通過簡單的草圖，學生能更好地感知到圓作為正n邊形的存在：正四邊形→正八邊形→……→正n邊形。】

二、圓與方

1.畫草圖：正方形中最大的圓。

要求：有清晰的作圖思路，有假設的數據（正方形邊長為4厘米）標注。

（1）嘗試作圖。

（2）展示，說明為什么這是最大的圓。

小結：正方形內最大的圓，直徑為正方形的邊長。

師：正方形面積與圓的面積之比是多少？［（4×4）∶（22π）=4∶π］

師：如果直徑是2，正方形面積與圓的面積之比是多少？［（2×2）∶（12π）=4∶π］

2.畫草圖：圓內最大正方形。

要求：在剛才正方形內的圓中畫出最大的正方形。

（1）嘗試作圖。

（2）展示，說明為什么這是最大的正方形。

小結：將圓內最長線段變為正方形內最長線段，將兩條垂直的直徑端點相連。

【設計意圖：圓內畫出最大正方形，比在正方形內畫出最大的圓要難一些。要讓學生理解“將圓內最長線段變為正方形內最長線段”就得到了圓內最大正方形，掌握草圖技巧。】

問1：這個圓內正方形的面積怎么求？

看草圖分析，得出算式。

小△×4 → 2×2÷2×4=8

大△×2 → 4×2÷2×2=8

小結：切分成三角形計算是為了利用已知數據的直徑來計算。

問2：圓的面積與圓內正方形面積之比是多少？（4π∶8=π∶2）

問3：大正方形、圓、小正方形的面積之比是多少？（4∶π∶2）

3.圖形指認。

（1）若圖中圓的半徑為r，請在 圖 上 分 別 找 到 4r2、2r2、r2、1.14r2、πr2、0.86r2，并說明理由。

（2）你還能在圖上找到其他能用字母式表示的部分圖形嗎？

【設計意圖：經歷了畫圖、計算等分步驟地理解之后，讓學生從字母式出發去圖上指認對應的部分并說明理由，加深對圓與方的各部分關系的理解，最后提出挑戰，讓學生自己去發現其他的能用字母式表示的部分圖形。】

三、圓環

1.呈現題組畫草圖，列式。

（1）一個半徑為5米的花壇外面修了一條寬度為1米的小路，小路的面積是多少？

（2）大圓半徑為6米，小圓直徑為4米，兩圓面積相差多少？

（3）水池的外圓半徑達10米，內圓綠植半徑達4米，中間儲水池的面積是多少？

2.展示交流。

（1）錯例分析。

（2）草圖比較。

問1：這兩組草圖的繪制與數據標注有什么不同的地方？

第一組直接標注題目中的數據，第二組標注都是兩個半徑的數據，多了一步轉化。

問2：繪制圓環問題的草圖，有什么相同點？

小結：圓環圖，都由兩個圓構成，因此都要先畫兩個圓。圓的大小由半徑決定，不管題目中已知的是什么數據，都要轉化提取出兩個圓的“大半徑”和“小半徑”。

四、拓展提升

1.一個直徑為10厘米的圓內減去一個最大的正方形，剩余部分的面積是多少？

2.已知在一張邊長為10厘米的正方形紙片上減去四個同樣大的最大的圓，剩余部分的面積是多少？

3.下圖陰影部分的面積為0.215平方厘米，求圓的面積。

五、全課總結（略）

【教學建議】

《圓的認識》單元教學中，更多的是利用圓規精確作圖，這有利于對“圓”概念的理解，重在讀圖、析圖、演算。教材編排了“圓與方”這一課教學，主要是通過教材提供的圖與數據去探究圓與方的面積關系。而本課是要求學生自己畫圖，自己分析，重在通過草圖提升問題解決的能力，培養幾何直觀的能力，更側重方法、路徑和策略。在實際教學中，有兩點建議：

一、方→圓→方，循環畫，畫出“大小”，說出理由

在教材內容的學習中，學生已經知道圓內最大正方形的面積怎么求，知道圓內最大正方形的面積與圓的面積的關系。在這節課里，要讓學生自己動手畫草圖，從正方形內畫出最大的圓→從這個圓內畫出最大的正方形，經歷圓出于方、方生出圓的過程，感受彼此之間的大小差異，并能在畫出來的草圖中指認和說理4r2、πr2、2r2、1.14r2、r2、0.86r2代表的是哪一部分的面積。

二、錯例中展開，強調關鍵數據的標注

圓環面積問題，學生出錯較多。可以先呈現錯例，讓學生相互點評、討論，小結出錯誤的根本原因就是R和r尋找失誤。有了這一點認識，畫相關問題的草圖時，就可以引導學生不管題目中已知的是什么數據，都要轉化提取出兩個圓的“大半徑”和“小半徑”。