在豐富的活動(dòng)中進(jìn)行“量感”的意義構(gòu)建
——關(guān)于《體積和容積單位》同課異構(gòu)帶來(lái)的思考

蔣守成（特級(jí)教師）

（作者單位：江蘇常州市金壇區(qū)朝陽(yáng)小學(xué)）

“計(jì)量單位”教學(xué)的核心任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的量感，那究竟什么是量感？指向量感的教學(xué)基本要求又是什么呢？一般來(lái)說(shuō)，量感是視覺(jué)或觸覺(jué)對(duì)各種物體的規(guī)模、程度、速度等方面的感覺(jué)。從教學(xué)層面來(lái)說(shuō)，學(xué)生在學(xué)習(xí)任何一個(gè)計(jì)量單位時(shí)，都有兩點(diǎn)基本的要求：一是要知道這個(gè)計(jì)量單位表示的實(shí)際量值；二是能進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)用，既包括簡(jiǎn)單的單位換算，也包括簡(jiǎn)單的問(wèn)題解決。由于不同類(lèi)型的計(jì)量單位是用來(lái)描述日常生活或客觀事物的不同方面，彼此間還又顯現(xiàn)出一些差異。時(shí)間看不見(jiàn)、摸不著，時(shí)間單位的建立更多需要依賴(lài)學(xué)生的內(nèi)在感覺(jué)；質(zhì)量雖然也是對(duì)事物客觀屬性的一種描述，但它不是通過(guò)直接的“看”就能獲得的，它還需要豐富的“做”的實(shí)踐體驗(yàn)和感受來(lái)支持。長(zhǎng)度、面積、體積單位都是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界一維、二維、三維空間具體屬性的刻畫(huà)，是直觀的、實(shí)在的、可視的，因而，客觀物質(zhì)世界是學(xué)好這些計(jì)量單位的重要載體。

量感就像樂(lè)感、語(yǔ)感一樣，作為一種感覺(jué)，培養(yǎng)起來(lái)不可能是立竿見(jiàn)影的。因此，每次計(jì)量單位的教學(xué)，都是一段指向量感的意義構(gòu)建的歷程。蔣菊妹和吳榮強(qiáng)兩位教師執(zhí)教的《體積和容積單位》一課，雖然過(guò)程有所差異，但他們都通過(guò)開(kāi)展有價(jià)值的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)行了量感的意義構(gòu)建，取得了殊途同歸的良好效果。

一、依托材料，豐富“經(jīng)驗(yàn)”，幫助學(xué)生進(jìn)行“量感”的意義構(gòu)建

在傳統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程中，教師一般會(huì)重視單位之間的換算，但事實(shí)上對(duì)計(jì)量單位的實(shí)際大小所形成的鮮明表象應(yīng)該成為教學(xué)的主要目標(biāo)，如何達(dá)成主要目標(biāo)呢？?jī)晌唤處熢诮虒W(xué)“體積和容積單位”時(shí)精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)材料，適時(shí)“提供支架”、促進(jìn)“多維體驗(yàn)”，幫助學(xué)生達(dá)成核心目標(biāo)。

1.選好材料，內(nèi)化“標(biāo)準(zhǔn)”，促進(jìn)量感意義建構(gòu)的過(guò)程遷移。

要形成量感，其基本前提是學(xué)生對(duì)于某個(gè)計(jì)量單位“有多長(zhǎng)、有多重、有多大”有一個(gè)充分的認(rèn)識(shí)，能夠明確“標(biāo)準(zhǔn)”。要注意的是，學(xué)生知道了“1立方厘米就是棱長(zhǎng)1厘米的正方體”的事實(shí)，并不等于建立了“1立方厘米的標(biāo)準(zhǔn)”。也就是說(shuō)，“標(biāo)準(zhǔn)”的切身體驗(yàn)與個(gè)性?xún)?nèi)化才是重點(diǎn)。

蔣老師按照教材的順序把認(rèn)識(shí)1立方厘米作為認(rèn)識(shí)三個(gè)體積單位的起點(diǎn)和重點(diǎn)展開(kāi)，選擇了學(xué)生非常熟悉的橡皮、黃豆、草莓、乒乓球、大米等物品作為學(xué)習(xí)材料，在認(rèn)識(shí)1立方厘米的教學(xué)過(guò)程中蔣老師設(shè)計(jì)了四個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)：

一是選一選，“哪個(gè)體積單位比較適合作橡皮的體積單位？”強(qiáng)化1立方厘米和其他兩個(gè)單位的區(qū)別，形成標(biāo)準(zhǔn)量。

二是想一想，“請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察這個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的小正方體，想一想，生活中還有哪些物體的體積接近1立方厘米？”尋找生活中的標(biāo)準(zhǔn)量。

三是比一比，“在黃豆、草莓、乒乓球和大米這些常見(jiàn)的物品中，哪些物品的體積比1立方厘米大？哪些比1立方厘米小呢？”強(qiáng)化標(biāo)準(zhǔn)量的大小。

四是擺一擺、數(shù)一數(shù)，“用棱長(zhǎng)1厘米的小正方體擺成一個(gè)長(zhǎng)3厘米、寬2厘米、高1厘米的長(zhǎng)方體，它的體積是多少立方厘米？”感受一塊橡皮的體積大小。

通過(guò)一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)更好地幫助學(xué)生建立起1立方厘米的表象，又為后續(xù)學(xué)習(xí)1立方分米和1立方米的標(biāo)準(zhǔn)量打下基礎(chǔ)，彰顯了教師助力學(xué)生內(nèi)化“標(biāo)準(zhǔn)”的專(zhuān)業(yè)智慧。

2.用好材料，提升經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷量感意義構(gòu)建的過(guò)程。

對(duì)于將要學(xué)習(xí)的體積和容積計(jì)量單位，每個(gè)學(xué)生腦海中都不是“一片空白”的，而是充盈著各種或凌亂、或有序的“前概念”，這是學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，而學(xué)生獲得新概念的過(guò)程，是一段由“經(jīng)驗(yàn)”走向“真理”的歷程。

吳老師打破教材的順序，將體積單位進(jìn)行整體同步學(xué)習(xí)，在讓學(xué)生明晰三個(gè)計(jì)量單位的規(guī)定后設(shè)計(jì)了三個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)：

一是根據(jù)想象，做一做?！澳隳芟胂蟪?立方厘米、1立方分米和1立方米的正方體有多大嗎？根據(jù)你的想象用老師提供的材料先來(lái)動(dòng)手做一做，在做的過(guò)程中慢慢感受它們的大小?！苯處熅倪x擇六個(gè)具有結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)材料（即1塊橡皮、1塊橡皮泥、8個(gè)棱長(zhǎng)5厘米的小正方體、12根1分米的小塑料棒，12根1米的塑料桿，6塊邊長(zhǎng)1米的正方形泡沫板等相關(guān)輔助材料）供學(xué)生動(dòng)手做體積單位模型，其結(jié)構(gòu)化主要體現(xiàn)在：正方體（如：棱長(zhǎng)5厘米的小正方體）和非正方體（如：橡皮、橡皮泥等），以及整體的材料（如：橡皮等）和拼搭的材料（如：小塑料棒、泡沫板）這兩個(gè)維度。學(xué)生做完后用信息發(fā)布的方式，分享制作方法和所做的計(jì)量單位的大小，這些都成為了教學(xué)的生成資源，為體積單位概念的理解找準(zhǔn)了學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)。

二是舉例比較，找一找。“老師為每個(gè)小組學(xué)具盒中準(zhǔn)備了骰子、佛珠、花生、包裝盒、皮球、醬料盒等材料，同學(xué)們可以去摸一摸、和桌上做好的正方體比一比，感受它們的大小，然后找一找體積大約是1立方厘米、1立方分米的物體有哪些？”通過(guò)尋找生活中的物體，引導(dǎo)學(xué)生把體積單位與生活中熟悉的事物聯(lián)系起來(lái)，加深了學(xué)生對(duì)體積單位實(shí)際意義的感受；幫助學(xué)生積累豐富的空間感知，為學(xué)生空間觀念的形成和發(fā)展打好基礎(chǔ)。

三是想象和比劃?！白屛覀冮]上眼睛，想象一下1立方厘米有多大，現(xiàn)實(shí)中哪些物體是1立方厘米？同時(shí)用手勢(shì)把它比劃出來(lái)。1立方分米、1立方米呢？”通過(guò)比劃和想象使每一個(gè)體積單位的建立都在學(xué)生心目中留下深深的“烙印”，而這些豐富的空間想象也可以使學(xué)生的空間觀念得到進(jìn)一步發(fā)展。

通過(guò)三個(gè)活動(dòng)，讓學(xué)生動(dòng)得起來(lái)、學(xué)得進(jìn)去、想得明白，幫助學(xué)生基于經(jīng)驗(yàn)、逼近“真理”，經(jīng)歷量感意義構(gòu)建的全過(guò)程。

二、突出關(guān)聯(lián)，重視體系，促進(jìn)學(xué)生形成計(jì)量單位的表征體系

結(jié)構(gòu)性是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要特點(diǎn)，計(jì)量單位也不例外。教學(xué)時(shí)，我們應(yīng)該構(gòu)建系統(tǒng)，突出概念的關(guān)聯(lián)，讓原本孤立的計(jì)量單位“拉幫結(jié)派”，展現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)樣態(tài)，如此便能有力擴(kuò)張學(xué)生的認(rèn)知世界，讓學(xué)生站在系統(tǒng)的角度明晰聯(lián)系、關(guān)注區(qū)別，促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的思維方式的形成。因此蔣老師和吳老師都注重體積單位的表征感知，從兩個(gè)方面幫助學(xué)生建構(gòu)“圖形與幾何”領(lǐng)域計(jì)量單位的表征體系，感受一維、二維、三維圖形之間的聯(lián)系與區(qū)別，建構(gòu)量感的意義。

1.加強(qiáng)體積單位知識(shí)前后的聯(lián)結(jié)，形成相互促進(jìn)的良性循環(huán)系統(tǒng)。

知識(shí)之間是相互關(guān)聯(lián)的，兩位教師在教學(xué)中都非常關(guān)注知識(shí)間的前后聯(lián)結(jié)，他們都從比較體積的大小引入新課，在此基礎(chǔ)上明晰體積單位的大小的標(biāo)準(zhǔn)。事實(shí)上，學(xué)生對(duì)體積概念掌握的好壞對(duì)學(xué)生能否建立正確的體積單位表象是非常重要的，反之，建立體積單位也可以促進(jìn)體積概念的進(jìn)一步形成。

計(jì)量單位表象的建立并非一節(jié)課所能完成，需要教師在教學(xué)過(guò)程中不斷聯(lián)結(jié)，觸類(lèi)旁通。例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中，蔣老師安排了數(shù)一數(shù)、算一算，“這些物體都是用棱長(zhǎng)1分米的正方體擺成的，它們的體積各是多少？”“估一估橡皮的體積、集裝箱的體積、水桶的容積分別是多少？”吳老師雖然安排的內(nèi)容與蔣老師有所不同，但其設(shè)計(jì)意圖是一樣的，都安排了求學(xué)生身邊物品的體積大小，使學(xué)生感受到所含“體積單位的個(gè)數(shù)”正是“體積”的大小量的本質(zhì)所在。這樣既對(duì)體積和體積單位有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，又豐富了學(xué)生對(duì)身邊常用物品體積大小的感性認(rèn)識(shí)，正是這些感性認(rèn)識(shí)的不斷積累，才能夠幫助學(xué)生更好地建立空間觀念。同樣道理，在后續(xù)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體和立方體的體積計(jì)算時(shí)，可以將教材中出現(xiàn)“求長(zhǎng)20米、寬16米、高 10米的長(zhǎng)方體的體積是多少？”這樣純利用公式計(jì)算長(zhǎng)方體的體積的習(xí)題，改成求學(xué)生的身邊事物，如電飯煲、微波爐、數(shù)學(xué)書(shū)等的體積，這樣在鞏固方法的同時(shí)就獲得了對(duì)物體體積的感性認(rèn)識(shí)。

2.建立單位之間的聯(lián)結(jié)，建構(gòu)“圖形與幾何”領(lǐng)域計(jì)量單位的表征體系。

計(jì)量單位的教學(xué)往往存在共性，學(xué)生在長(zhǎng)度單位、面積單位學(xué)習(xí)過(guò)程中的思想方法、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)都是學(xué)習(xí)體積和容積單位的基礎(chǔ)。因此吳老師在導(dǎo)入新課時(shí)就通過(guò)微視頻讓學(xué)生回顧，明晰認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位和面積單位都經(jīng)歷了統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的過(guò)程，將這一學(xué)習(xí)方法自然遷移到體積和容積單位的學(xué)習(xí)中，打通了學(xué)習(xí)“圖形與幾何”領(lǐng)域計(jì)量單位這一類(lèi)內(nèi)容的方法關(guān)聯(lián)。

如何構(gòu)建三者之間的聯(lián)系和區(qū)別來(lái)形成表征系統(tǒng)，才能更加全面更加深刻地理解概念呢？蔣老師完整呈現(xiàn)三個(gè)圖（如下圖），引導(dǎo)學(xué)生看圖說(shuō)一說(shuō)對(duì)1厘米、1平方厘米、1立方厘米的印象以及它們之間的區(qū)別和聯(lián)系。以下是兩位學(xué)生的回答：

“我的印象是：長(zhǎng)度單位是一條一條的，用線(xiàn)段表示，面積單位是一塊一塊的，用平面表示，體積單位是立體的，一整個(gè)的。”

“我認(rèn)為它們既有聯(lián)系也有區(qū)別，一個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的小正方體，它1個(gè)面的面積就是1平方厘米，它的體積就是1立方厘米，它們都是這個(gè)正方體的一部分?！?/p>

這樣統(tǒng)一完整的呈現(xiàn)，幫助學(xué)生整體感知到長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位屬于三個(gè)截然不同的領(lǐng)域，是用來(lái)表述物體或者圖形的三種不同特質(zhì)，即：長(zhǎng)度、面積和體積，幫助學(xué)生厘清計(jì)量單位的歸屬，但學(xué)生對(duì)內(nèi)在的聯(lián)系還停留在具體事物中，而后蔣老師通過(guò)演示進(jìn)一步溝通其內(nèi)在的聯(lián)系。

吳老師則在比較差異后，通過(guò)微視頻演示動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷了從一維到二維，從二維到三維的過(guò)程：長(zhǎng)l分米的線(xiàn)段是向一個(gè)維度伸展，如果向兩個(gè)維度伸展便會(huì)形成一個(gè)邊長(zhǎng)為1分米的正方形面，l平方分米是10乘10等于100平方厘米，如果向三個(gè)維度伸展就圍成了一個(gè)棱長(zhǎng)為1分米的正方體，1立方分米就是10乘10乘10等于1000個(gè)1立方厘米。這樣將長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位差異比較和縱向發(fā)展脈絡(luò)上的梳理，并進(jìn)行內(nèi)部思想方法上的溝通，通過(guò)單位間的聯(lián)結(jié)以加深學(xué)生對(duì)體積單位的理解，真正讓學(xué)生建構(gòu)量感的意義。

不同的思考就會(huì)有不同的切入點(diǎn)和不同的課堂教學(xué)架構(gòu)，從重構(gòu)的角度來(lái)思考，我們可以從點(diǎn)、線(xiàn)、面、體之間的關(guān)系出發(fā)，從圖形運(yùn)動(dòng)導(dǎo)入，在長(zhǎng)度單位和面積單位動(dòng)態(tài)變化中引入體積計(jì)量單位；也可以用預(yù)學(xué)單的形式引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)看書(shū)、舉例、提問(wèn)，將體積單位有關(guān)的知識(shí)嘗試進(jìn)行自主的前期學(xué)習(xí)與梳理，并在自學(xué)的基礎(chǔ)上提出問(wèn)題，然后有序進(jìn)行體積單位的研究；當(dāng)然也可以從求長(zhǎng)方體的總棱長(zhǎng)、表面積入手，讓學(xué)生學(xué)習(xí)體積單位成為需求。在聚焦體積和容積的體驗(yàn)活動(dòng)展開(kāi)的過(guò)程中，教師也可以有不同的流程，可以是基于教材的序從立方厘米開(kāi)始，也可以從適合學(xué)生直觀感知的1立方分米開(kāi)始，也可以三個(gè)體積單位同步展開(kāi)。

看似簡(jiǎn)單的計(jì)量單位教學(xué)，卻包含著三重境界：其中感知、理解計(jì)量單位的概念，是計(jì)量單位內(nèi)容教學(xué)的基礎(chǔ)工程，這是第一重境界；面對(duì)一般對(duì)象能夠進(jìn)行比較、估測(cè)，形成正確使用計(jì)量單位的基本技能是第二重境界；面對(duì)特殊對(duì)象，能夠進(jìn)行合情分析與推理，靈活運(yùn)用計(jì)量單位解決實(shí)際問(wèn)題是第三重境界。要打開(kāi)學(xué)生束縛的思維和束縛的手腳，讓學(xué)生達(dá)到第三重境界，還有很多話(huà)題值得我們探討：“如何激活和修正學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)？”“如何讓學(xué)生在比較和選擇中經(jīng)歷‘很不準(zhǔn)’到‘比較準(zhǔn)’再到‘準(zhǔn)’的矯正過(guò)程？”“如何有效構(gòu)建單位長(zhǎng)度、單位面積、單位體積的建模過(guò)程？”“如何讓學(xué)生學(xué)習(xí)的疑惑和錯(cuò)誤成為生成的資源？”等等，期待更多的教師一起來(lái)實(shí)踐、來(lái)探討。