MURC 視域下圓的意義的獲取與表征的教學程序設計

陸有海

（作者單位：浙江紹興文理學院）

一、回顧已知圖形，搭建基礎平臺

圓是幾何圖形，圓是一個幾何圖形的數學概念。任何數學概念都有自己的知識結構，幾何圖形的數學概念也有自己的知識結構，這種知識結構一般由兩部分組成：概念的意義與表征方式。數學的創造過程是一個數學化的過程，數學化分為橫向數學化與縱向數學化，由生活到數學的幾何圖形概念的數學創造過程是一個橫向數學化的過程，顯然，在人的主觀能動作用下，在人的想象與推理的作用下，通過縱向數學化也可以實現幾何圖形概念的數學創造。

二、創設生活情境，明確研究對象

根據圓形概念與其他幾何圖形概念的關系，我們選擇橫向數學化的創造方式。利用實物展示或投影，為學生進行幾何圖形概念的研究與創造提供豐富的材料。

圖1：生活中的圓形

三、描繪物體形狀，經歷抽象過程

在生活中，圓形物體，有的在天上，有的在地上，有的家中用，有的路上跑。在數學中，圓形是一個圖形，它在書上，它在你的作業紙上。為什么生活中的圓形會跑到書中去呢？它又是怎樣跑進去的呢？

1．觀察想象，感知圓形。

讓學生觀察觸摸生活中的圓形物品，初步感知一種物體表面的“圓圓”形狀；讓學生閉眼想象物體表面的“圓圓”形狀，初步體驗由客觀物體到思維形象的抽象過程。

2．意念描繪，實體勾勒。

圓形的精準制作是一件困難的事件，我們必須給學生搭建突破難點的腳手架,讓學生經歷由易到難的圓形圖形的繪制過程。首先，用手指指著物體表面的邊緣，慢慢地想象著描繪物體的圓形邊緣；其次，用手指在桌面（或練習紙）描繪某一物體表面的圓形形狀；第三，用鉛筆在練習紙上畫出某一物體表面的圓形形狀，感知自己畫出的（不像的、不好的）圓形形狀；最后，引導學生思考，有沒有東西的圓形形狀，可以比較好地把它畫出來？讓學生用硬幣實物幫助描繪圓形形狀，從而為進一步研究“圓”奠定了基礎，為探求數學方法畫圓形圖搭建了有效平臺。

四、探究圖形特征，完善知識結構

圖2：圓上兩點之間線段長度變化規律的研究

1．第一次發現圓上最長的線段。

（1）操作感知，理性推測。

如圖2所示，在用硬幣描繪成的圓形圖上取一點A1，朝著圓形上的另一點B1，可以走出一條路，也可以測出這條路的路程；同理，從A1出發，我們還可以朝著B2走出一條路，并測出這條路的路程。這樣，我們便有了這樣兩個問題：一是圓形上的線段A1Bx可以作多少條？LA1Bx的值一直都會越來越大嗎？如果不會越來越大，那么什么時候開始變小的呢？

顯然，使得LA1Bx>LA1Bx-1的線段可以作出無數條，但不等于這種關系永遠能夠成立。

顯然，由LA1Bx>LA1Bx-1到LA1Bx

如圖2（左）所示，當LA1Bx=4.00厘米時，圓形上兩點之間的線段長度達到了最大值。顯然，在這樣的情境下，這樣的線段，有且只有一條。

（2）憑借經驗，創造數學。

根據“距離”的學習經驗，這種變化中不變的最長線段，一般都要給出獨有的名稱，這就是圓的直徑。為什么會叫做直徑？這是一個非常有意思的問題，這要回到生活情境當中來體悟了。我們平時行走的軌跡都叫做“路”，有時稱作路徑，因此，在圓形上，從一點走到另一點的軌跡也可以叫做路徑，這條最長的直直的路徑，我們可以簡稱為直徑。

2．第二次發現圓上最長線段的特性。

（1）重復操作，偶遇半徑。

從一個固定的點出發，作圓形上的線段，有一條最長的線段。如果固定的點的位置發生變化會怎樣呢？是不是也會出現這樣一條最長的線段呢？這兩條線段會以什么樣的形態出現在我們面前呢？如果相交又會出現什么情況呢？如圖2（右）所示，我們重復第一次發現最長線段的操作，找出同一個圓形上由點出發的最長線段。這時，我們把不是最長的線段全部擦除，剩下兩條最長的圓形上的線段，如圖3所示。引導學生觀察兩條最長線段相交的交點，分別把各自的線段分成了兩部分，形成了四條線段。觀察這四條線段的長度，通過想象猜測與測量驗證，驚喜地發現：圓上兩條最長的線段相交并且相互分割成相等的四段，如圖3所示，而且每段都是直徑的一半，因此，可以把它叫做圓的半徑。

圖3：直徑相交于同一點（圓心）

（2）猜測驗證，發現圓心。

想象猜測之一：兩條直徑相交于一點，這一點把直徑分成了相等的兩半。那么，再作一條這樣的直徑，是否還會相交于這一點呢？

想象猜測之二：兩條直徑相交于一點，那么，通過這一點的圓上的每段是不是一定是直徑呢？

通過實際操作與測量，發現圓上所有的直徑都相交于這點，并且只有通過這一點的所有圓上的線段都是直徑。

通過實際操作與測量，我們還發現交點到圓上的任何一點的線段都相等，而且都等于直徑的一半。因此，這一點到圓上任一點的距離都相等的這一點是圓的中心點，我們可以把它叫做圓心。

五、研究圓形特征，創造畫圓方法

研究數學就是研究解決實際問題的數學方法。開始，我們隨手畫圓，畫得很不圓，只有借助實物模型才能把它真實地描出來。如果無法借助實物模型描繪圓形，那么我們該怎么辦？

1．畫圓的策略思想。

我們已經知道：圓有圓心，有半徑；我們也可以通過推測知道：圓上的點可以由圓心與半徑來決定。因此，我們的結論：如果知道圓的位置，如果知道圓的半徑，那么就可以找出圓上的點。畫出所有圓上的點，圓形也就畫出來了。圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小。

2.畫圓的操作技術。

第一步：實際測量實體圓的直徑，通過計算獲得圓的半徑；第二步：確定畫圓的位置，也就是定好圓心；第三步：根據測量距離的經驗，依據半徑長度確定圓上的一個點；第四步：以此類推，畫出圓上所有的點；第五步：第一步到第四步的操作技術的改良，形成類似于圓規的畫圓工具，并介紹圓規的結構、功能，詮釋圓規的作圖原理。

六、總結探究結果，明確圓的意義

通過自己的探索發現與創造，我們知道了圓心、半徑與直徑，也知道了圓上的點是離開圓心的距離是半徑的點，“圓”是這些點的一個集合。圓的半徑決定圓的大小。畫圓的方法，分為幾種情況：一是畫隨意的圓，只要在平面（物體的表面，即紙或板等）上，確定任意一點作為圓心，取任意可取的長度作為半徑，畫出圓上的所有點就行；二是畫確定大小與確定位置的圓，這時，你必須找到確定的點作為圓心，必須以規定的長度作為半徑長度，才可以畫出圓上的所有點；三是畫某個實物表面上的圓，這時，你必須自主確定畫圓的位置，必須測量實物表面上的圓的直徑（或者半徑），才可能將實物表面上的圓，畫到你需要的平面（設計圖紙或練習紙）上。

通過總結回顧，我們知道了圓是到定點（圓心）距離（半徑）都相等的點的軌跡（集合）。

七、交流研究結論，拓展研究思路

自然現象含有動靜兩種狀態。“圓的意義的獲取與表征”的過程是基于靜態現象觀察感知為邏輯起點的探索發現過程，這是一次“圓的認識”教學設計的全新探索，充分體現了人認識客觀世界的自然性與邏輯性。事實上，與圓相關的自然現象還存在著一種動態現象，如，摩天輪、風車或繩子一端吊上一個物件手拿住另一端用力甩動等，如果對這種動態現象進行想象與抽象，那么對于認識圓的圓心、半徑、動點軌跡等數學概念會具有更豐富的直觀支持。