分數階超混沌系統異構射影延遲同步研究

張宗瑤，趙小山，盧 雅，徐 濤

（天津職業技術師范大學理學院，天津 300222）

分數階微積分理論的發展最早可以追溯到300多年前。分數階微積分作為微積分的一個分支，是普通的整數階微分和積分向任意實數階微分和積分的推廣。由于長期缺少實際應用背景，所以分數階微積分理論的發展較為緩慢。但研究表明分數階較整數階混沌系統能夠更好地將物理工程現象呈現出來，且分數階模型較傳統的整數階模型有更為復雜的動力學特性，所以更適合描述真實材料的特性[1-2]。目前，混沌同步廣泛應用在密碼學、信息科學和圖像處理等領域?；煦缤降难芯考润w現混沌自身應用價值也為混沌的應用研究提供了良好的理論基礎[3]。

混沌同步在保密通信中的應用研究已成為非線性系統研究的一個熱點，并且許多混沌同步和控制方法逐漸被提出，例如完全同步、自適應同步、脈沖同步、延遲同步和射影同步等同步方法和非線性反饋控制、線性反饋控制、滑?？刂坪湍：刂频瓤刂品椒?。其中把驅動系統和響應系統的狀態變量關于一個比例因子同步的方式定義為射影同步。由于比例因子增加了系統的隨機性和不可測性，因此射影同步對于保密通信研究有更為突出的優勢。目前有很多射影同步方法被提出，例如廣義射影同步[4]、修正射影同步[5]、全狀態混合射影同步[6]、錯位射影同步[7]、函數射影同步[8-9]和延遲射影同步[10]等同步方法。由于延遲現象在非線性動力系統中是不可避免的因素，因此本文提出的射影延遲同步方案更加符合實際，也保留了射影同步在增強信息傳遞的安全性方面的優勢?；谖墨I[3]，本文以線性分數階穩定性定理[11]和非線性控制方法為理論基礎，實現分數階異構超混沌系統的射影延遲同步和未知參數辨識，設計控制器和參數辨識規則，并以Lorenz-Stenflo和Lorenz這2個超混沌系統為例進行數值仿真，證明所設計的控制器和參數辨識規則的有效性。

1 系統數學模型與問題描述

目前 Grnwald-Letnikov（G-L）、Riemann-Liouville（R-L）和Caputo這3種分數階微積分的定義是多種分數階微分和積分的數學定義中較為常見的3種。R-L定義多被采用于研究純數學問題，而在實際應用中Caputo定義較為常用。因此，本文采用Caputo定義。

Caputo分數階微分的定義為：

式中：n為大于q的最小整數；Γ（·）為伽馬函數。

考慮如下的分數階驅動系統：

式中：x（t）=（x1（t），x2（t），…，xn（t））T∈Rn為驅動系統的狀態變量向量；驅動系統的求導的分數階階數q∈（0，1）；向量函數 F：Rn→Rn為連續的；θ =（θ1，θ2，…，為驅動系統的未知參數向量且 M（x（t））∈為多項式矩陣。

考慮如下的分數階響應系統：

式中：y（t）=（y1（t），y2（t），…，yn（t））T∈Rn為響應系統狀態變量向量；響應系統的求導的分數階階數q∈（0，1）；向量函數 G：Rn→Rn為連續的；δ=（δ1，δ2，…，為響應系統的未知參數向量且 N（y（t））∈為多項式矩陣；U=（u1，u2，…，un）T為待設計的非線性反饋控制器。

定義系統（3）和（4）間的狀態變量誤差為：

式中：e（t）=（e1（t），e2（t），…，en（t））T∈Rn；C=diag{c1，c2，…，cn}∈Rn×n為實比例矩陣；τ＞ 0 為同步時間延遲。

定義系統（3）和（4）未知參數的誤差為：

定義1如果存在控制器U使得

則稱驅動系統（3）與響應系統（4）這兩個異構分數階混沌系統之間實現了射影延遲同步。

注：當 C=I，I∈Rn×n時，同步類型稱為延遲同步，而當 C=-I，I∈Rn×n時，同步類型稱為反相延遲同步；當延遲量τ為0時，同步類型由射影延遲同步退化為射影同步；當延遲量τ為0，且C=I或者C=-I時，同步類型分別轉化為完全同步和反相同步，因此本文主要目的是設計合適的控制器實現系統（3）和系統（4）的射影延遲同步及合適的自適應參數辨識規則，以辨識出系統（3）和（4）的未知參數。

2 控制器和參數辨識規則的設計

設非線性控制器為：

式中：反饋增益 K=diag{k1，k2，…，kn}∈Rn×n為待定對角矩陣。將新設計的控制器（9）作為響應系統（4）待設計的控制器，再根據射影延遲同步定義結合驅動系統（3）和響應系統（4）計算可得誤差系統為：

那么，最終將實現分數階混沌系統（3）和（4）間的射影延遲同步問題和未知參數辨識問題等價轉化成分數階誤差系統（10）零解的漸近穩定性問題。

定理 1如果矩陣 K=diag{k1，k2，…，kn}∈Rn×n滿足 ki＜ 0，i=1，2，…，n，那么不確定分數階混沌系統（3）與（4）就能夠實現射影延遲同步，并且未知參數向量θ、δ能夠由以下的參數更新規則識別為：

由同步誤差系統（10）和參數更新規則（11）和（12）組成新的誤差系統為：

式中：A（x（t- τ）），y（t））為矩陣多項式。

引理1[3]如果分數階線性自治誤差系統（13）的系數矩陣 A 的所有特征值 λ 均滿足|arg（λ）|＞ qπ/2，q∈（0，1）則稱分數階線性自治誤差系統（13）的零解是漸進穩定的，即

證明假設誤差系統中的多項式系數矩陣的任意一個特征值為λ，相應的非零特征向量為η，則

對上式左乘ηT可得：

同理可得

由方程（16）和（17）計算可得：

式中：ηTη＞0；A（x（t-τ），y（t））+AT（x（t-τ），y（t）），即：

由矩陣 K=diag{k1，k2，…，kn}∈Rn×n滿足 ki＜ 0（i=1，2，…，n）知，ηTQη≤0。那么

此時，多項式矩陣 A（x（t- τ），y（t）的任意 1 個特征值 λ 均滿足|arg（λ）|≥π/2 ＞ qπ/2，其中 q∈（0，1）。根據引理1，分數階系統（13）在零解是漸進穩定的。即從理論上證明了實現不確定分數階混沌系統（3）和（4）間射影延遲同步的可能性，同時也說明了本文設計的辨識驅動系統（3）與響應系統（4）中的未知參數向量的參數辨識更新規則（11）和（12）的正確性。

3 數值仿真

為方便從數值上驗證本文提出的射影延遲同步方案的可行性，以下面分數階超混沌Lorenz-Stenflo系統和分數階Lorenz超混沌系統這2個分數階四維超混沌系統為實例進行數值仿真，其中整數階超混沌Lorenz-Stenflo系統是由Stenflo在研究低頻短波長的重力波方程式時提出的[12]，具體形式為：

其中，當系統（20）的參數向量取值為{a，b，c，d}={1，0.7，26，1.5}時存在混沌吸引子，即此時為混沌系統。

本文研究的是系統（20）的分數階形式：

作為驅動系統，其中系統（21）的階數q=0.98，分數階系統的參數?。é?，θ2，θ3，θ4）=（1，0.7，26，1.5），采用caputo定義設計算法，分數階超混沌系統（21）的混沌吸引子圖由matlab數值仿真得出，分數階Lorenz-Stenflo超混沌系統吸引子如圖1所示。

圖1 分數階Lorenz-Stenflo超混沌系統吸引子

將分數階Lorenz超混沌系統作為響應系統進行同步，其中待設計非線性同步控制器向量為 U=（u1，u2，…，un）T。在 q=0.98，（δ1，δ2，δ3，δ4）=（10，28，8/3，1）時系統出現超混沌解，分數階Lorenz超混沌系統吸引子如圖2所示。

圖2 分數階Lorenz超混沌系統吸引子

假設系統 （21）、（22） 中所有參數 θ =（θ1，θ2，θ3，θ4）T，δ =（δ，δ2，δ3，δ4）T均為未知的參數向量，其估計值分別為

把系統（21）和（22）等價變換為系統（3）與（4）的形式，則

對照式（9）、（11）和（12），設計系統的控制器為：

參數辨識規則為：

響應系統（23）中的待設計控制器選取為（28），如下的誤差系統可由系統（22）和（23）相結合計算得出：

由預估矯正算法[13]，結合Matlab進行數值仿真，參數向量真實值分別為：θ =（1，0.7，26，1.5）T，δ=（10，28，8/3，1）T，選取驅動系統式（21）的初始值為：x（0）=（0.1，0.2，0.2，-0.2）T，響應系統（22）的初始值 y（0）=（-2.2，6，8.3，-9）T，誤差系統（29）初始值選取為 e（0）=（3，9，7，2）T，未知參數估計值分別選取為：（4，5.7，45.5，3.5）T，反饋增益對角矩陣的值選取為：K=diag{-15，-12，-14，-12}，對角矩陣取值 C=diag{2，2，2，2}。同步誤差系統演化曲線如圖3所示。由圖3可知，控制器實現了系統（21）和（22）的射影延遲同步。未知參數估計向量的參數辨識曲線如圖4和圖5所示。圖4和圖5表明，參數估計向量隨著時間趨于無窮逐步收斂到參數向量的真實值 θ =（1，0.7，26，1.5）T與 δ =（10，28，8/3，1）T，進而說明了所給參數更新規則的有效性。

圖3 誤差系統演化曲線

圖4 驅動系統參數辨識曲線

圖5 響應系統參數辨識曲線

4 結語

本文基于分數階線性自治系統的穩定性理論，結合非線性控制方法，提出一種射影延遲同步判據，并在參數未知的情況下設計了相應的參數辨識規則。以實現分數階超Lorenz-Stenflo混沌系統和分數階超Lorenz混沌系統之間的射影延遲同步為例，運用Matlab數學工具進行數值仿真，分別從理論和數值上對提出的射影延遲同步方案進行了驗證，驗證結果證明了該同步方案中設計的控制器和未知參數辨識規則的正確性和有效性。