廣義Riesz變換高階交換子的CBMO估計

鐘海萍, 周偉松, 張京友, 王興武

(1. 豫章師范學院 自然科學系, 江西 南昌 330103； 2. 重慶郵電大學 系統理論與應用研究中心, 重慶 400065； 3. 重慶三峽學院 數學與統計學院, 重慶 404000)

近年來,隨著偏微分方程、算子理論、多復變函數理論、位勢理論和幾何分析等學科的不斷發展,許多數學學者開始關注非光滑區域上的奇異積分或者非光滑核上的奇異積分理論,二階復函數橢圓型散度算子L有關的Riesz變換是其中一個典型的例子.

定義一個二階散度型橢圓算子Lf=-div(Af),A=A(x)是指一個定義在Rn上的復的、L系數的n×n矩陣，且滿足一致性橢圓條件:存在0<λ≤γ<，使得

其中ξ、ζ∈Cn.

定義Littlewood-Paley-Stein型函數Gf(f)為

由此利用算子的譜理論，定義算子L的廣義Riesz變換為

RL=

(1)

當L=-Δ，即Rn上的Laplacian算子，以上廣義Riesz變換是通常意義的Riesz變換.

設Kt(x,y)是t1/2e-tL的核,相應的與CBMO函數b(x)生成的高階交換子

定義

(2)

設pt(x,y)是解析半群e-tL的熱核，若滿足A是實矩陣，或A是n≤2的復矩陣，或者當n≥3時核是H?lder連續的[1]，那么pt(x,y)具有Gaussian上界，即

(3)

由此，本文給出熱核的2個假定[2-3].

(a) 設全純半群為e-zL，|arg(z)|<π/2-θ核為az(x,y)，對所有的v>θ，核az(x,y)滿足Poisson上界.|arg(z)|

|arg(z)|<π/2-v，

(b) 算子L在L2(Rn)上滿足有界H全純演算.關于H全純演算相關定義定理參見文獻[1,4].

1 預備知識

定義1.1[9]設α∈R,0

其中

當p=時取通常意義的極限形式.

定義1.2[8]設1≤q<,稱f∈CBMOq(Rn)，如果有

‖f‖CBMOq=

其中B(0,r)={x∈Rn:|x|

引理1.1[1]設n≥2，L滿足(1)和(2)式，設Kt(x,y)是t1/2e-tL的核，則存在常數c>0使得

引理1.2[3]設L滿足假定(a)和(b),那么是弱(1,1)型并且在Lq(Rn)上有界，其中1

引理1.3[8]設f∈CBMOq(Rn),1≤q<，r1,r2>0,t那么

2 主要結果及其證明

1

證明只考慮0

則有

E1+E2+E2.

(4)

對于E2，根據Minkowski和H?lder不等式,因此得到

mBk(b))|i‖Lq/i‖χk|(b(y)-

mBk(b))|m-i‖Lq/(m-i)‖fj‖Lq1≤

(5)

根據引理1.2有

(6)

對于E1,當x∈Ak,y∈Aj,注意到j≤k-2,2k-2≤|x-y|≤2k+1,根據Minkowski和H?lder不等式

E11+E12.

(7)

對于E11,由引理1.3得

(8)

令

因此得到

(9)

再應用引理1.1，有

(10)

因此

‖fj‖Lq1(Rn)2-kα22jα1.

(11)

對于E12,由引理1.3得

|(b(x)-mBj(b))|i×

(12)

令

類似于(10)式的估計得

(13)

因此得

‖fj‖Lq1(Rn)2-kα22jα1.

(14)

結合E11和E12的估計,得

令

(15)

(16)

對于E3,注意到k≤j-2,當x∈Ak,y∈Aj,有2j-2≤|x-y|≤2j+1.類似E1的估計過程,得到

(17)

(18)

定理2.1的證明完畢.

3 L2off-diagonal估計

設E,F為Rn上的閉子集，dist(E,F)表示集合E與F的歐氏距離,f是n-tupple函數.關于L2off-diagonal估計的引理如下.

引理3.1[5]設E和F是Rn上的閉子集，那么對于所有的t>0,有

‖f‖Lp(E),suppf?E;

‖f‖Lp(E),suppf?E;

‖f‖Lp(E), suppf?E;

‖f‖Lp(E),suppf?E,

定理3.1設RL如(2)式所定義,

λ≥0， 1

α2滿足

則有

Q1+Q2+Q3.

(19)

對于Q2,根據引理3.2以及H?lder不等式,類似E2的估計得到

(20)

對于Q1,注意到

x∈Ak， j≤k-2， y∈Aj,

2k-2≤|x-y|≤2k+1，

由Minkowski和H?lder不等式,得

‖L-1/2(fj)χk‖Lq2(Rn)≤

(21)

根據引理3.1，得

‖L-1/2(fj)χk‖Lq2(Rn)≤c2(kn/q2-kn/2)×

(22)

(23)

最后估計Q3，注意到當x∈Ak,y∈Aj，k≤j-2,有

2j-2≤|x-y|≤2j+1,

由引理1.3類似于Q1,得

‖L-1/2(fj)χk‖Lq2(Rn)≤c2(k-j)(n/q1-n/2+α1)×

2-kα22jα1‖fj‖Lq1(Rn).

致謝重慶郵電大學博士啟動基金(A2016-80)和重慶郵電大學大學生科研訓練計劃項目(A2017-71)對本文給予了資助，謹致謝意.

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