弱(下)鞅的一類Marshall型不等式

馮德成, 王 英, 李琴社

(西北師范大學 數學與統計學院, 甘肅 蘭州730070)

1 預備知識

本文中,{Xn,n≥1}或{Sn,n≥1}是定義在概率空間(Ω,F,P)上的隨機變量序列.記S0=0,IA是集合A的示性函數.

定義1.1[1]設{Sn,n≥1}是L1下的隨機變量序列,如果對任意的1≤i

E[(Sj-Si)f(S1,…,Si)]≥0,

其中f是任意使上述期望有定義且對每個變元均非降的函數,那么稱{Sn,n≥1}是一個弱鞅(demimartingale).若進一步假定f是非負的,則稱{Sn,n≥1}是一個弱下鞅(demisubmartingale).

弱鞅的概念是由Newman等[1]提出的,他們證明了均值為零的PA序列的部分和序列是一個弱鞅.自此之后,很多學者對弱(下)鞅進行了研究,給出了弱(下)鞅的一些概率不等式及其應用結果[2-14].

眾所周知,對均值為零的平方可積隨機變量X,有

?ε>0.

Marshall[15]將上述不等式推廣到如下形式:

?ε>0,

(1)

在上述條件下,若令

則{Sn,n≥1}是一個鞅.Mu等[16]在E|Xi|p<∞,i≥1,p≥2的條件下,將(1)式推廣,得到如下形式的Marshall型不等式:

?ε>0,

其中α是下列函數的最大值,

h(x)=1-x+(1-x)2-qxq-1, x∈[0,1].

之后,Hu等[17]將文獻[16]中若干結論推廣到弱鞅的情形下,得到了弱鞅的Marshall型概率不等式.

受文獻[16-17]的啟發,本文將文獻[17]中關于弱鞅{Sn,n≥1}的Marshall型極大值不等式推廣到弱下鞅的情形,同時將文獻[17]中關于非負弱鞅{Sn,n≥1}的Marshall型極小值不等式推廣到{g(Sn),n≥1}的情形下,這里g是R上的不減凸函數,后者推廣和改進了文獻[17]中的相關結果.

2 弱下鞅的Marshall型極大值不等式

引理2.1[18]若E|X|p<∞,E|Y|q<∞,則

(2)

0

(3)

引理2.2[2]設{Sn,n≥1}是一個弱下鞅,且滿足Si∈L1,i≥1，則對任意的ε>0,有

引理2.3設{Sn,n≥1}是一個弱下鞅,且滿足ESn≤0,n≥1.若存在p>1,使得對所有的n≥1,有E|Sn|p<∞，則對任意的ε>0,有

(4)

證明由于對所有的n≥1,都有ESn≤0.若令Y=IΛ,則由(2)式和引理2.2得

E[(Y-EY)Sn]=E[YSn-SnEY]=

E[YSn]-EYESn≥E[SnIΛ]≥εP(Λ).

(5)

顯然有

E|Y-EY|q=P(Λ)(1-P(Λ))q+

(1-P(Λ))P(Λ)q.

(6)

結合(5)和(6)式,得證.

定理2.1設{Sn,n≥1}是一個弱下鞅,且滿足ESn≤0,n≥1.若存在p>1,使得對任意的n≥1,有00,有

這里M是下面方程的正解

xq=(β-1)x+β,x∈(0,∞),

(7)

證明顯然方程(7)只有一個正解.

(ii) 當P(Λ)>0時,由引理2.3得

[P(Λ)(1-P(Λ))q+(1-P(Λ))P(Λ)q]×

上式兩邊同除以P(Λ)q,有

因此

即

令u(x)=xq-(β-1)x-β,M是(7)式的正解.由于u″(x)=q(q-1)xq-2>0,x∈(0,+∞),故u(x)在[0,∞)上是一個凸函數，則對任意的x∈(0,M),有

由于u(0)=-β<0,u(M)=0,故對任意的x∈(0,M),都有u(x)<0,因此M是使(4)式成立的最小值,則此結論成立.

定理2.2設{Sn,n≥1}是一個弱下鞅,且滿足ESn≤0,n≥1.若存在p≥2,使得對任意的n≥1,有E|Sn|p<∞，則對任意的ε>0,有

(8)

其中α是下列函數的最大值

h(x)=1-x+(1-x)2-qxq-1,x∈[0,1].

證明當p≥2時,有1

運用不等式(4),有

再兩邊同時取p次方,得到

αp-1(1-P(Λ))E|Sn|p≥εpP(Λ).

故(8)式得證.

定理2.3設{Sn,n≥1}是一個弱下鞅,且滿足ESn≤0,n≥1.若存在δ>0,使得對任意的n≥1,有E|Sn|1+δ<∞,則對任意的ε≥E|Sn|,有

(9)

令1

從而有

此外

則有

在(4)式中令p→1,可得

(1-P(Λ))E|Sn|≥εP(Λ)，

則(9)式得證.

3 弱鞅的Marshall型極小值不等式

引理3.1[14]設{Sn,n≥1}是一個弱鞅,g是R上的不減凸函數,使得對任意的i≥1,有E|g(Si)|<∞,則對任意的ε>0,n≥1,有

引理3.2設{Sn,n≥1}是一個非負弱鞅,g是R上的不減凸函數,滿足g(0)=0,若00,有

證明由于{Sn,n≥1}是非負弱鞅,g是R上的不減凸函數且g(0)=0,故對任意的n≥1,有g(Sn)≥0.因此,令Y=IN,由(3)式和引理3.1,有

E[|(Y-EY)g(Sn)|]=

(10)

結合(6)和(10)式,得證.

注3.1在引理3.2的條件下,很容易得到上述不等式的一個上界

(11)

定理3.1設{Sn,n≥1}是一個非負弱鞅,g是R上的不減凸函數,且g(0)=0.若存在00,n≥1,則對任意的ε>0,令

有

(12)

當P(N)>0,

(13)

其中M1和M2均為方程(7)的正解,且M1≤M2.

證明(i) 當P(N)=0時,(12)式顯然成立.

(ii) 當P(N)>0時,由不等式(11)得

[P(N)(1-P(N))q+(1-P(N))P(N)q]×

兩邊同除以P(N)q,得

(14)

若令

則有

(15)

因此(14)式等價于

即

(16)

故對ε>0和q<0,有

結論得證.

若在定理3.1中取g(x)=x,則有下面的推論.

其中M1和M2均為方程(7)的正解,且M1≤M2.

注3.2推論3.1即為文獻[17]中的定理2.2.因此本文定理3.1是文獻[17]中定理2.2的推廣.

致謝西北師范大學青年教師科研能力提升計劃項目(NWNU-LKQN-11-2)對本文給予了資助,謹致謝意.

[1] NEWMAN C M, WRIGHT A L. Associated random variables and martingale inequalities[J]. Zeitschrift Für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete,1982,59(3):361-371.

[2] CHRISTOFIDES T C. Maximal inequalities for demimartingales and a strong law of large numbers[J]. Statistics and Probability Letters,2000,50(4):357-363.

[3] CHRISTOFIDES T C. U-statistics on associated random variables[J]. J Statistical Planning and Inference,2004,119(1):1-15.

[4] WANG J F. Maximal inequalities for associated random variables and demimartingales[J]. Statistics and Probability Letters,2004,66(3):347-354.

[5] HU S H, WANG X J, YANG W Z, et al. The Hjek-Rènyi-type inequality for associated random variables[J]. Statistics and Probability Letters,2009,79(7):884-888.

[6] WANG X J, HU S H. Maximal inequalities for demimartingales and their applications[J]. Science in China:Mathematics,2009,A52(10):2207-2217.

[7] WANG X J, PRAKASA RAO B L S, HU S H, et al. On some maximal inequalities for demimartingales and N-demimartingales based on concave Young functions[J]. J Mathematical Analysis and Applications,2012,396(2):434-440.

[8] PRAKASA RAO B L S. On some maximal inequalities for demisubmartingales and N-demisupermart-ingales[J]. J Inequalities in Pure and Applied Mathematics,2007,8(4):112.

[9] PRAKASA RAO B L S. Conditional independence, conditional mixing and conditional association[J]. Ann the Institute of Statistical Mathematics,2009,61(2):441-460.

[10] PRAKASA RAO B L S. Remarks on maximal inequalities for nonnegative demisubmartingales[J]. Statistics and Probability Letters,2012,82(7):1388-1390.

[11] 王學軍,胡舒合. 弱鞅的極大值不等式及其應用[J]. 中國科學,2009,A39(4):489-499.

[12] 胡舒合,楊文志,王學軍，等. 關于N-弱鞅和弱鞅不等式的一個注記[J]. 系統科學與數學,2010,30(8):1052-1058.

[13] DAI P P, SHEN Y, HU S H, et al. Some results for demimartingales and N-demimartingales[J]. J Inequalities and Applications,2014,2014(1):489-501.

[14] 馮德成,張瀟,周霖. 弱鞅的一類極小值不等式[J]. 山東大學學報(自然科學版),2017,52(8):65-69.

[15] MARSHALL A W. A one-sided analog of Kolmogorov’s inequality[J]. Ann Mathematical Statistics,1960,31(2):483-487.

[16] MU J Y, MIAO Y. Generalizing the Marshall’s inequality[J]. Communications in Statistics Theory and Methods,2011,40(15):2809-2817.

[17] HU S H, WANG X H, YANG W Z, et al. Some inequalities for demimartingales and N-demimartingales[J]. Statistics and Probability Letters,2012,82(2):232-239.

[18] LIN Z Y, BAI Z D. Probability Inequalities[M]. Beijing:Science Press,2006.