TF-投射模與TF-投射維數

何 可, 王芳貴, 沈 磊

(四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

無撓Abel群的理論可以很自然地推廣到整環.整環上的無撓模對刻畫整環的結構發揮了很大的作用(例如,整環R是Prüfer整環,當且僅當任何無撓R-模都是平坦模,當且僅當任何有限生成無撓R-模都是投射模).將無撓模的概念推廣到交換環R上,可以用R的全體非零因子的乘法集來代替整環上的非零元定義無撓模,參見文獻[1]等.對非交換環R上無撓模最自然的定義是用全體正則元(既不是左零因子又不是右零因子的元素)代替整環的非零元，即設M是左R-模,如果對任何非零x∈M,及任何正則元c∈R,都有cx≠0,則稱M為無撓模.但是這樣定義的無撓模在應用上受到很大的限制,例如文獻[2]中問題3.D.16就指出M中被某個正則元零化的元素一般不構成M的子模.

平坦模在同調代數中是一個基本的模類,且整環(或有零因子的交換環)上平坦模都是無撓模.文獻[3]從同調性質的角度給出了一般的非交換環R上無撓模的定義:設M是左R-模,若對任意a∈R,及任何x∈M,只要ax=0,就有x∈rR(a)M,則稱M是無撓模,其中rR(a)={r∈R|ar=0}是a的右零化子.文獻[3]證明了M是無撓左R-模當且僅當對任意a∈R,都有

特別地,對于整環R,文獻[3]定義的無撓模與經典的無撓模概念是一致的.文獻[4]利用矩陣討論了無撓模與平坦模的關系,并證明了:無撓左R-模M是平坦模,當且僅當對任何正整數n,都有Mn是無撓左Mn(R)-模,其中Mn={(x1,x2,…,xn)T|x1,x2,…,xn∈M}(上標T表示轉置),Mn(R)是R上的n-階矩陣環.由此可見文獻[3]定義的無撓模是值得研究的模類.本文以下提到的無撓模都采用這種定義.

眾所周知,任何環上任何模都有內射包,但是投射蓋,作為其對偶的概念,只有在左完全環上任何左模才都有投射蓋.于是文獻[5]提出了平坦蓋猜想,并證明了任何環上任何模都有平坦蓋.近年來,對各種特定模類的包絡與覆蓋的研究成為相對同調代數的一個熱點,文獻[6]中定理4.1.1(b)指出任何模都有無撓蓋.在討論模的無撓預包時,發現了一個新的模類,即本文引入的TF-投射模,在討論與之相應的同調維數時又引入了強TF-投射模的概念.

本文提到的環都是有單位元1的結合環.右(或左)R-模的特征模HomZ(M,Q/Z)記為M+,且(M+)+簡記為M++.符號rR(a)(lR(a))表示環中元素a的右(左)零化子.未提到的概念和符號,讀者可以參見文獻[1,6-10]等.

1 預備知識

定義1.1設R是環,M是左R-模:

定義1.21) 若R的任何主左理想都是投射(平坦)的,則稱R為左PP環(PF環)[3];

2) 若R的任何主左理想都是有限表現的(等價地,對任何a∈R都有lR(a)都是有限生成左理想),則稱環R為左P-凝聚環[7];

3) 若R的任何主左理想都是循環表現的(等價地,對任何a∈R都有lR(a)都是主左理想),則稱環R為左強P-凝聚環[7];

4) 若R的有限生成左理想都是主左理想,則稱R為左Bézout環[12].

例1.31) 無零因子環和半遺傳環都是雙邊PP環,左PP環都是左PF環[3];

2) 左PP環和左凝聚環都是左P-凝聚環,此外,環R是左凝聚環當且僅當對任何n≥1,n階矩陣環Mn(R)都是左P-凝聚環[7];

3) 左PP環、Von Neumann正則環、左(廣義)morphic環都是強P-凝聚環,強P-凝聚環是P-凝聚環[7](稱R為左廣義morphic環[13],是指對任何a∈R,存在b∈R,使得lR(a)?R/Rb,此外,若b=a,則稱R為左morphic環[14]);

4) 若R既是左P-凝聚環,又是左PF環,則R是左PP環.

關于包絡覆蓋和余撓理論,可以參見文獻[6,9,15]等,限于篇幅,不再贅述.左(或右)強P-凝聚環R上右(或左)模M的無撓維數記為leftTF-dimM,關于此維數的研究可以參見文獻[7,16].

2 TF-投射模的定義與基本性質

注2.2由定義立即可得以下結論:

1) 投射模是強TF-投射模,強TF-投射模是TF-投射模;

2) (強)TF-投射模是(強)余純投射模.

首先給出TF-投射的一些等價刻畫.

命題2.3設R是環,M是右R-模,則下列各條等價:

1)M是TF-投射模;

2) 若0→K→F→M→0是正合列,其中F是無撓模,則K→F是TF-預包;

3) 存在TF-預包φ:A→B,其中B是投射模,使得M?coker(φ);

4) 對任何正合列ξ:0→A→B→C→0,只要A是無撓模,就有誘導序列HomR(M,ξ)是正合列.

證明1)?2)和1)?4) 顯然.

2)?3) 取正合列0→K→P→M→0,其中P是投射模,于是K→P是TF-預包.

3)?1) 設A→B→M→0是正合列,其中B是投射模,φ:A→B是TF-預包.令K=im(φ),則

0→K→B→M→0

是正合列.對任何無撓模左R-模N,則有

4)?1) 設N是無撓模左R-模,E=E(N)是N的內射包,則有正合列

ξ:0→N→E→E/N→0,

及長正合列

接下來討論TF-投射模的基本性質.

命題2.4設R是環,則有:

1) (強)TF-投射模對直和與直和加項封閉;

2) (強)TF-投射模對模擴張封閉;

3) 強TF-投射模對滿同態的核封閉;

4) 強TF-投射模類是可解的.

證明1) 設{Mγ}γ∈Γ是一簇左R-模,其中Γ是指標集.對任何整數i≥1,及任何無撓左R-模N,由自然同構

立即可得.

2) 設0→A→B→C→0是左R-模正合列,則對任何i≥0,及任何無撓左R-模N,由誘導序列

是正合的立即可得.

3) 設0→A→B→C→0是左R-模正合列,則對任何i≥1,及任何無撓左R-模N,有正合列

若B、C都是強TF-投射模,則正合列ξi兩端為零,從而中間也為零,于是A也是強TF-投射模.

4) 由2)和3)與注2.2即得.

命題2.5設R是環,M是TF-投射模左R-模,則下列各條等價:

1)M是強TF-投射模;

2)M的第一階合沖模是強TF-投射模;

3)M的任意階合沖模都是強TF-投射模.

證明3)?2) 顯然.

2)?1) 設K是M的一個第一階合沖模,則對任何無撓模N,及任何i≥2,都有

1)?2) 設0→K→P→M→0是正合列,其中P是投射模,從而是強TF-投射模,由命題2.4得K是強TF-投射模.

1)?3) 對1)?2)的證明過程用歸納法即得.

證明設leftTF-dimN=n<∞,由文獻[7]中命題4.14知,存在正合列

0→F→Pn-1→…→P0→N→0,

其中,P0,…,Pn-1是投射模,F是無撓模,因此

命題2.7設R是右強P-凝聚環,M是左R-模,則下列各條等價:

1)M是投射模;

2)M是強TF-投射模,且leftTF-dimM<∞.

證明1)?2) 顯然.

2)?1) 設0→K→F→M→0是正合列,其中F是自由模,由文獻[7]中命題4.14得

leftTF-dimK<∞.

命題2.8設R是右PF環,M是左R-模,則下列各條等價:

1)M是投射模;

2)M是TF-投射模.

證明1)?2) 顯然.

眾所周知,投射模都是平坦模;反之,有限表現的平坦模是投射模.(強)TF-投射模與(強)D-平坦模也有類似的關系.

定理2.9設R是環,M是左R-模,則有以下各條成立:

1) 若R是右P-凝聚環,M是(強)TF-投射模,則M是(強)D-平坦模;

2) 若M是有限表現的D-平坦模,則M是TF-投射模;

3) 若R是右凝聚環,M是有限表現強D-平坦模,則M是強TF-投射模.

證明1) 設D是可除右R-模,注意到R是右P-凝聚環,由文獻[7]中定理2.7得D+是無撓模.從而對任何i≥1,由自然同構

結論成立.

由f:K→F是TF-預包知存在φ:F→N,使得

hf1=φf=φλf1.

注意到f1是滿同態,從而h=φλ,即λ:A→F是TF-預包.由命題2.3得M是TF-投射模.

3) 對任何右R-模N,及任何i≥1,由文獻[17]中定理2.2.13得

注意到凝聚環是P-凝聚環,再由文獻[7]知,N是無撓模當且僅當N+是可除模,故結論成立.

下面給出一個TF-投射模但不是投射模的例子.

例2.10設R是雙邊強P-凝聚環,但不是雙邊PP環.由文獻[7]中推論5.4,存在有限表現左R-模M是D-平坦模但不是平坦模,從而M也不是投射模.由命題2.9得,M是TF-投射模.

引理2.11設R是右Bézout環,M是左R-模,則M是無撓模當且僅當M是平坦模.

證明設I是有限生成右理想.由假設,存在a∈R,使得I=aR,于是

故M是平坦模.

推論2.12設R是右Bézout環,M是左R-模,則M是(強)余純投射模當且僅當M是(強)TF-投射模.

命題2.13設R是環,考慮以下條件:

1) 任何無撓左R-模都是投射模;

2) 任何無撓左R-模都是強TF-投射模;

3) 任何無撓左R-模都是TF-投射模;

4) 任何D-平坦左R-模都是TF-投射模;

5) 任何強D-平坦左R-模都是強TF-投射模.

則有4)?5)?3)?2)?1)成立.此外,若R既是右P-凝聚環又是右Bézout環,則1)?4)成立.

證明1)?2)?3)和5)?2) 顯然.

因此Ki是強D-平坦模,從而是TF-投射模.于是對任何i≥0,都有

即M是強TF-投射模.

1)?4) 設M是D-平坦左R-模,N是無撓右R-模,則N+是可除左R-模,于是

由引理2.11,N是平坦模.由假設可得R是左凝聚環,從而N是純內射模,再由文獻[18]中命題1.1,N→N++是純單同態.因此存在右R-模X,使得

N⊕X?N++.

從而有

命題2.14設R是環，若任何左R-模都是TF-投射模,則R是QF環.此外,如果R是右Bézout環,反之也成立.

命題2.15設R是環,則(STP,STP⊥)是遺傳的余撓理論.

證明設X∈STP,N∈STP⊥,0→K→P→X→0和0→N→E→L→0是正合列,其中P是投射模,E是內射模,則由命題2.5,K∈STP,從而

于是L∈STP⊥.

今設M∈⊥(STP⊥),則

用歸納法立即可得:對任意i≥0,都有

設F是無撓模,顯然F∈STP⊥,從而對任意i≥0,都有

故M∈STP,即(STP,STP⊥)是余撓理論.注意STP是可解的,由文獻[6]中引理2.2.10,(STP,STP⊥)還是遺傳的余撓理論.

3 TF-投射維數

令1.tpD(R)=sup{tpd(M)|M為左R-模},并稱之為R的左整體TF-投射維數.

注3.2設R是環,M是左R-模,則有:

1)M是強TF-投射模當且僅當tpd(M)=0;

2) 若1.tpD(R)=0,則R是QF環.若R既是QF環,又是右Bézout環,則1.tpD(R)=0.

cpd(M)=∞.

關于余純投射模和余純投射維數的更多結果可以參見文獻[19-22].

余純投射維數與TF-投射維數有命題3.3關系:

命題3.3設M是左R-模下列各條成立:

1) cpd(M)≤tpd(M)≤pd(M);

2) r.cpD(R)≤1.rtpD(R)≤rD(R);

3) 若tpd(M)<∞,則tpd(M)=cpd(M).

證明1) 由注2.2即得.

2) 由1)即得.

由同調代數的標準方法可以證明以下2個命題,在此從略.

命題3.4設M是左R-模,n為非負整數,則下列各條等價:

1) tpd(M)≤n;

3) 對任何左R-模N∈STP⊥,都有

4)M的第n階合沖是強TF-投射模;

5) 存在正合列0→Pn→…→P0→M→0,其中P0,…,Pn都是強TF-投射模.

命題3.5設R是環,0→A→B→C→0是右R-模正合列.若tpd(A)、tpd(B)、tpd(C)中任何2個是有限的,則第3個也是有限的.此外還有:

1) tpd(A)≤sup{tpd(B),tpd(C)-1};

2) tpd(B)≤sup{tpd(A),tpd(C)};

3) tpd(C)≤sup{tpd(B),tpd(A)+1}.

定理3.6設R是環,下列各項的值相等:

1) 1.tpD(R);

2) sup{tpd(M)|M是有限生成左R-模};

3) sup{tpd(M)|M是無撓左R-模};

4) sup{id(N)|M是無撓左R-模};

5) sup{id(N)|N∈STP⊥}.

證明3)≤2)≤1)和4)?5) 顯然.

推論3.7設R是環,下列各條成立:

1) 若0→A→B→C→0是右R-模正合列,且B是強TF-投射模,若0

tpd(C)=tpd(A)+1;

2) 設n≥2,則1.tpD(R)=n當且僅當

sup{cpd(I)|I是R的右理想}=n-1.

證明1) 顯然.

2) 由正合列0→I→R→R/I→0和定理3.6即得.

命題3.8設R是右強P-凝聚環,M是TF-投射左R-模.若M是無撓模的子模,則存在無撓預包φ:M→P,其中P是投射模且φ是單同態.

命題3.9設R是右強P-凝聚環,M是左R-模.若tpd(M)≤1,則M有強TF-投射預蓋ψ:H→M,且ker(φ)是投射模.

證明由文獻[7]中命題4.14,存在正合列0→K→Q→M→0,其中Q是投射模,M是強TF-投射模.由命題3.8,存在平坦預包φ:K→P,其中P是投射模,且φ是單同態.令L=coker(φ),則由命題2.3,L是TF-投射模,再由命題2.5,L是強TF-投射模.考查如下兩行正合的交換圖:

最后給出本文的主要定理.

定理3.10設R是右強P-凝聚左Noether環,則下列各條等價:

1) 1.tpD(R)≤1;

2) 任何左R-模M有強TF-投射預蓋ψ:H→M,且ker(ψ)是投射模;

3) 任何TF-投射左R-模是強TF-投射模;

4) 對任何內射左R-模M的無撓子模N,都有商模M/N是內射模;

5) 任何強TF-投射左R-模的子模是強TF-投射模;

6) 任何左理想是強TF-投射模.

證明1)?2) 由命題3.9即得.

2)?1) 由命題3.4即得.

1)?3) 設M是TF-投射模,K是M第一階合沖.由命題3.4,K是強TF-投射模,再由命題2.5,M是強TF-投射模.

3)?1) 設M是有限生成左R-模.考查正合列0→K→P→M→0,其中P是有限生成投射模,注意到R是左Noether環,故K是有限生成的.設f:K→N是無撓預包,其中F是有限生成投射模,記L=coker(f).由K是P的子模,知f是單同態.再由命題2.3,知L是TF-投射模,從而是強TF-投射模.由命題2.5,K也是強TF-投射模.故tpd(M)≤1.由命題3.6,知1.tpD(R)≤1.

1)?4) 設N是內射左R-模的M無撓子模,則N∈STP⊥.由命題3.6,id(N)≤1,從而M/N是內射模.

4)?1) 設N是無撓模,E(N)是T的內射包,由假設E(N)/T是內射模,從而id(N)≤1.由命題3.6,知1.tpD(R)≤1.

5)?6) 顯然.

6)?1) 設I是R的左理想,由正合列

0→I→R→R/I

知cpd(R/I)≤1,由命題3.6,1.tpD(R)≤1.

[1] 王芳貴. 交換環與星型算子理論[M]. 北京:科學出版社,2006.

[2] GOODEARL K R. Ring Theory:Nonsingular Rings and Modules[M]. New York:Marcel Dekker,1976.

[3] HATTORI A. A foundation of torsion theory for modules over general rings[J]. Nagoya Math J,1960,17(17):147-158.

[4] STONE D R. Torsion-free and divisible modules over matrix rings[J]. Pacific J Math,1970,35(1):235-253.

[5] BICAN L, EL BASHIR R, ENOCHS E E. All modules have flat covers[J]. B London Math Soc,2001,33(4):385-390.

[6] G?BEL R, TRLIFA J J. Approximations and Endomorphism Algebras of Modules[M]. Berlin:Walter de Gruyter,2006.

[7] MAO L X, DING N Q. On divisible and torsionfree modules[J]. Commun Algebra,2008,36(2):708-731.

[8] ROTMAN J J. An Introduction to Homological Algebra [M]. New York:Academic Press,1979.

[9] ENOCHS E E, JENDA O M G. Relative Homological Algebra[M]. Berlin:De Gruyter,2000.

[10] ANDERSON D D, FULLER K R. Rings and Categories of Modules[M]. Berlin:Spring-Verlag,1974.

[11] FU X H, ZHU H Y, DING N Q. On copure projective modules and copure projective dimensions[J]. Commun Algebra,2012,40(1):343-359.

[12] MAZUREK R, ZIEMBOWSKI M. On Bézout and distributive generalized power series rings[J]. J Algebra,2006,306(2):397-411.

[13] ZHU H Y, DING N Q. Generalized morphic rings and their applications[J]. Commun Algebra,2007,35(9):2820-2837.

[14] NICHOLSON W K, CAMPOS E S. Rings with the dual of the isomorphism theorem[J]. J Algebra,2004,271(1):391-406.

[15] XU J Z. Flat Covers of Modules[M]. Berlin:Springer-Verlag,1996.

[16] HU J S, DING N Q. Some results on torsionfree modules[J]. J Algebra and Its Appl,2013,12(1):221-241.

[17] 陳建龍,張小向. 凝聚環與FP-內射環[M]. 北京:科學出版社,2014.

[18] JENSEN C U, SIMSON D. Purity and generalized chain conditions[J]. J Pure & Applied Algebra,1979,14(3):297-305.

[19] 施莉娜,王芳貴,熊濤. ∞-余純投射模[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2016,39(4):479-483.

[20] 熊濤,王芳貴,胡葵. 余純投射模與CPH環[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2013,36(2):198-201.

[21] 熊濤. 余純投射模與模的單平坦包[D]. 成都:四川師范大學,2012.

[22] 熊濤. 由模類Fn決定的同調理論[D]. 成都:四川師范大學,2015.

[23] ENOCHS E E, HUANG Z Y. Injective envelopes and (Gorenstein) flat covers[J]. Algebras and Representation Theory,2012,15(6):1131-1145.

[24] LEE S B. Weak-injective modules[J]. Commun Algebra,2006,34(1):361-370.

[25] FUCHS L, SALCE L. Modules over non-noetherian domains[J]. American Mathematical Society,2001,84(4):613.