有機融入出奇效 合作研討成典范

馮晶

【摘 要】數學史融入數學教學具有重要的價值。以融入數學史的“大數的認識”教學為例，教師通過對教學過程中重要節點處設計發生的改變及發生改變原因的刻畫，呈現了HPM的具體實施策略，不僅有助于一線教師教學參考所用，而且，這一案例的形成過程，也可為小學HPM課例的開發提供借鑒，以供更廣泛和深入的研究所用。

【關鍵詞】HPM；課例開發；合作

一、引言

近些年來，隨著HPM（History and Pedagogy of Mathematics，數學史與數學教學）領域研究的不斷深入與HPM教育價值研究的相對成熟[1]，HPM研究逐漸向教學實踐延拓，中小學數學教師也試圖將數學史應用于課堂教學，但受困于數學史料的匱乏、數學史融入課堂教學經驗與相應評價體系的缺失等[2]，數學教師并沒有開發出數量可觀的優秀HPM課例，特別是小學階段，好的HPM課例更是鳳毛麟角。就當下現實而言，開發出一節精彩的HPM的課例顯得尤為重要。好的課例可以為一線教師學習和逐步掌握數學史融入數學教學的策略提供范例作用。本文將以滬教版四年級上冊“大數的認識”為例，來研磨小學HPM的實施策略，以期對小學數學教師掌握策略提供啟示，同時，本研究也力圖將此課例打造成HPM的經典課例，以為更多的同行研究之用。

二、教學磨課與課例生成過程

（一）教學磨課與課例形成的大致過程

按照教學進度，在“大數的認識”授課前兩周，授課教師F與W團隊（W是國內知名的HPM專家，團隊中負責小學階段的是Y）取得了聯系，雙方就教師F的第一次教學設計進行了研討；研討后教師F進行了第二次教學設計，并與Y討論后對教學設計進行了修改；借助已修改的教學設計，教師F進行了磨課，W團隊中的部分成員參與磨課，課后對教學設計提出了新的改進建議，同時，W與參與磨課的成員就課例作了進一步研討；教師F根據Y提供的反饋，進行了再設計，并與Y討論后作了調整；教師F依據調整后的教學設計進行授課，W團隊參與了聽課活動，并與教師F就教學情況進行了討論。

（二）教學內容的具體變化及背后的原因

盡管在課例的開發過程中，教師F進行了7次教學設計及修改，但按照圖1顯示的過程，主要的設計有3個，第一次教學設計（以下簡稱OD），它代表了W團隊參與前，教師F的原始想法，磨課時用的教學設計（以下簡稱TD），正式上課時用的教學設計（以下簡稱FD）。

（1） 從OD到TD

在OD中，教師F欲從學生是否知道阿基米德來引入數沙的故事，“他就是阿基米德，出生在希臘西西里島敘拉古附近的一個小村莊，是一位貴族，與敘拉古國的赫農王有親戚關系，家庭十分富有。國王的兒子蓋倫和阿基米德是好朋友，這位蓋倫王子不相信有人能數出沙子的數量，并曾和阿基米德談論過此事。后來阿基米德就寫了《數沙者》的書獻給王子。阿基米德認為不僅西西里島沙灘上的沙子可以數出來，就連全世界的沙子也能數出來”，并通過“你心中的大數是什么樣的？”“你現在所知最大的數夠不夠用？”兩個問題引發學生的興趣與思考，鼓勵他們表達心中的想法。隨后的設計按照教科書思路將大數的認識與中國（包括各省、市、自治區、特別行政區）的人口聯系起來進行學習，不再有數學史內容的出現。

在針對OD的研討中，W團隊的成員認為F使用數學史的方式比較粗淺，僅利用附加式在引入部分加入了一點數學史來激發學生學習興趣，而且故事中對阿基米德出身的介紹與教學內容匹配度較低，去掉這部分設計對學生知識理解無影響，教師F也認同這一點，而要發揮出數學史的作用，可以用阿基米德的故事串聯整個教學活動。因此在TD中，教師F首先設計了問題“你心目中的大數是什么樣的，比如？”“你所知道最大的數夠用嗎？”來引出主題，然后進一步設計了問題“你覺得有沒有人能數出宇宙中的沙粒數量”，從而引出阿基米德數沙的故事“（出示阿基米德像）小朋友，你知道他是誰嗎？他是阿基米德，公元前287年出生在西西里島敘拉古附近的一個小村莊”，播放音頻，“《數沙者》這本書是阿基米德寫給好朋友蓋倫王子的，因為那個時代，有些人認為宇宙中沙子的數量是無限的。另外一些人，雖然并不認為沙子的數量是無限的，但是，他們不能寫出一個足夠大的數，使它在數量上超過宇宙里全部沙子的數量。于是，通過閱讀前人的著作，做了一系列準備工作后，阿基米德創造出了一套完整的計數理論，并表達出了‘宇宙所包含的沙粒數小于1后面51個零”，隨后創設了阿基米德“人口統計”故事的情境。

①作為王子，蓋倫想要了解歐洲的人口數量。但他事務繁忙，所以委派連宇宙的沙子都能數出的阿基米德負責這件事。阿基米德從故鄉敘拉古著手這一工作，島上現在有9999（九千九百九十九）人，這一天，島上的一位婦人生下一個嬰兒，請問現在這個島上的總人數是多少？

②阿基米德派出去做人口調查的10個官員已有9人回來，人口總計90000（九萬）人，還有一個前去較遠的地方的官員尚未返回，阿基米德在著急地等待中。傍晚時分，最后一人姍姍來遲，帶回的數字是10000（一萬）人。假如你是阿基米德，你會向蓋倫王子匯報多少人？

借此引導學生認識數位表，并認識相鄰計數單位間的進率是十，滿十進一；隨后，通過“這位偉大的數學家死于公元前212年敘拉古戰役中，在他生活的那個年代，全世界的人口不過五百萬，如果阿基米德還活著，一定會感嘆：中國真是一個大國啊！單我們上海在2010年第六次全國人口普查中就有那么多（23019148）人”，借此幫助學生認識級數，學會讀數，通過問題“我們中國究竟是一個怎樣的大國呢？如果阿基米德知道了中國的人口數，我想他一定很驚訝，到底是多大的人口數呢？”幫助學生鞏固新知，理解不同數位上的相同數字表示的含義不同。在課堂小結環節，除了知識的總結外，F還總結道：“今天，記錄大數看起來是非常微不足道的事情， 在阿基米德時代， 能找到一種記錄大數的方法的確是一個偉大發現。其實這也是數學這門科學向前邁出的重要一步。在我國古代也有比較完整的大數進制（如圖2）。無論是古希臘還是我國古代先人都有對大數的表達，正因為有了他們的貢獻，我們的物理學、天文學等學科才能得以順利發展。”最后，在拓展應用部分，除了提供相應的題目外，還呼應第一部分，設計了問題“你能讀出阿基米德數出的沙粒數嗎？即1后面51個零”，試圖為科學計數法做鋪墊。

（2） 最終教學設計的形成

在磨課后的研討中，參與者結合課上出現的一些問題，提出了既然語文課中已經有了阿基米德的故事，不妨在介紹他時，從語文教材中的片段入手，將數學與語文結合起來，讓學生感受文化的魅力；即使告訴學生宇宙中所含的沙粒小于1后面51個零，學生也沒有什么概念，所以干脆將TD中的“并表達出了‘宇宙所包含的沙粒數小于1后面51個零”改成“當時由于沒有先進的計數單位，稍微大的數古人很難讀出來。但是數學發展到了今天，我們有了先進的計數單位，我們有能力讀出一些較大的數，今天我們就來學習這些內容”，一方面激發學生的求知欲，給學生一種隨著時代的進步，數學也在不斷發展的印象，另一方面以“但是由于沒有先進的計數單位，稍微大的數古人很難讀出來”為后面的故事串聯埋好伏筆；圖2中呈現的中國古代的大數單位太多，學生理解不了，1后面的51個0，盡管教師F說了讀作“10的51次方”，但學生也理解不了，而且這些內容不是本節課所要求理解的，把這些內容放進來的目的是讓學生感受中國古代的數學成就，激發他們探究未知的興趣，因此可以作為課后活動供學有余力的學生探究；學生在讀數時存在一定的困難，應該通過分級的探究活動幫助他們克服這一難點。在W團隊的研討過程中，W認為這節課的故事串聯不夠自然，特別是如果阿基米德還活著這一假設十分突兀，所以建議運用古今對照的方式。

③很久以前，做人口普查需要像阿基米德這樣的大數學家，而且雖然他們能用一些方式表示歐洲人口的數目，但是卻讀不出這些數字，而今天的我們不一樣，即使是像你們一樣的小朋友也能讀出很大很大的數，比如上海在2010年第六次全國人口普查中就有那么多（23019148）人。（認識數級環節）

④在阿基米德生活的年代，全世界的人口不過五百萬，如果阿基米德要讀出中國的人口數，我想他先昏過去再說。但我想小朋友們肯定能讀出來，不信你們讀一下？（鞏固新知環節）在使故事順暢自然的同時，激發學生學習數學的自信心。

在課堂小結環節，將圖2改為了“在我國古代也有比較完整的大數進制，如億往后的京、兆、垓等。小朋友們可以在課后查一下這些詞的具體含義”，并將其后“數學對物理學、天文學等學科的推動作用”改為“社會、數學、物理學與天文學等之間的相互推動作用”，增加了“事實上，無論是古希臘還是我國古代先人對大數都有自己的表達形式，但是古人不一定有先進的計數方法并能夠順利地讀出這些大數。正因為社會的需要，數學才能不斷發展，我們才能讀出物理學、天文學等學科的大數據”。

最終，教師F設計了如圖1的教學流程進行正式的授課。

三、反思與結論

通過三次研討、兩次主要的教學設計改動、一次磨課，通過從選取素材到教師反思等多個環節的螺旋推進，教師F最終的授課取得了相當不錯的效果。但通過上述的分析發現，HPM課例的生成并不是一件容易的事情：一方面，需要多方人員的積極參與和配合，除了W的團隊外，教師F所在學校的學科組也從知識掌握的角度給予了幫助；另一方面，任何設計上的改動都要有所依據，比如從故事的完整性上看，與OD相比，TD增加了阿基米德作為人口普查員的故事，阿基米德來到今天的故事，但考慮到故事串聯的自然性，與TD相比，FD遵照史實將阿基米德來到今天改成了盡管他能表示出很大的數，但是他也讀不出這些數，而今天連小朋友都能讀出很大的數，起到了激發學生積極性與提升信心的目的，比如從具體細節來看，無論是在故事引入環節還是在拓展應用環節讀出1后面51個0都是不可取的，所以干脆在引入中不出現1后面51個0，只是在拓展應用環節點出這是以后要學習的內容，這也是數學發展帶給我們的挑戰，為后續的學習做好鋪墊，將圖2改成億、京、兆、垓等的查閱也是考慮到學生的認知基礎，同時讓學生感受不同的數學文化。但數學史在學生身上體現出的知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效等教育價值又指引著我們積極嘗試融入數學史的設計。因此，正如“大數的認識”課例的生成過程一樣，在課例開發的過程中，我們應該加強高校研究團隊與一線教師團隊的溝通、合作，通過研討來加強教育取向的數學史研究的深度，通過磨課來試驗與加強數學史與教學內容的契合程度。

參考文獻：

[1]吳駿，汪曉勤.國外數學史融入數學教學研究綜述[J].比較教育研究，2013，（8）：78-82.

[2]Fauvel，J.，& Van Maanen，J. History in Mathematics Education- the ICMI Study. Dordrecht，Kluwer Academic Publishers[M]，2000：203.

（上海市楊浦區內江路第二小學 200082）