數學史：人文與理性的融通

劉軒如

【摘 要】要將數學史融入數學教學，需要建立在一定數量的數學史料之上。教師要想在史料相對較少的限制下，開設一節文化氣息濃厚且能培養學生理性思維品質的小學數學課，可以通過充分利用現有素材設計教學。以“軸對稱圖形”教學為例，教師按照“發現對稱之美—感受對稱之實—探索對稱之理—體會對稱之用”的思路進行設計、教學后，發現學生對相關內容的認識深刻，獲得了積極的情感體驗。

【關鍵詞】數學文化；理性；數學史

一、引言

將數學史融入數學教學，具有知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效等教育價值，且這些價值與“四基”“四能”、核心素養、情感與信念緊密相關[1]。因此，數學史在中小學一線受到了越來越多的關注，很多期刊策劃了相關的專輯或專欄，很多的成果被人大復印資料全文轉載。然而將數學史融入數學教學并不是一件容易的事情，特別是在小學，這與小學生的認知起點比較低，所涉及的歷史是早期的，很可能在文獻上沒有明確的記載有關[2]。那么，能否在史料有限的情況下，開設一節文化氣息濃厚且能培養學生理性思維品質的小學數學課？本文將結合“軸對稱圖形”的教學探索問題的答案。

二、素材分析與應用

對稱是不同時代人類試圖理解和借此創造秩序、美麗和完美的工具。因此，人類很早就喜愛對稱，特別是軸對稱，這從早期人類建造的宮殿、創作的藝術品中可見一斑，比如5000～7000年前仰韶文化半坡類型彩陶人面魚紋盆（圖1）、5000年前兩河流域出土文物 （圖2）、故宮太和殿、印度泰姬陵等。不僅如此，對稱還廣泛地存在于無機界和有機界，對于很多有機界的動物而言，結構上的對稱是進化的必然結果，因為為了生存，只有身體的結構左右對稱時，它們才能跑得快或飛得高[3]。

盡管有一些與軸對稱主題相關的歷史素材，但相比于分數、小數等主題的歷史素材，這些素材幾乎與知識的概念屬性無關。因此，基于以上相對較為有限的史料，教師采用“發現對稱之美—感受對稱之實—探索對稱之理—體會對稱之用”的思路設計教學，欲實現如下的教學目標。

（1）通過思考、交流、辨析等活動逐步認識軸對稱圖形，知道軸對稱的含義。

（2）在實踐操作中發現并認識軸對稱圖形中的對稱軸，并能正確畫出對稱軸。

（3）在實踐操作中提升自身的思維品質，在欣賞與練習中感悟對稱的文化魅力與實用價值。

三、教學設計與實施

（一）發現對稱之美

師：我們來欣賞一段G20杭州峰會的芭蕾舞表演（30秒的微視頻），美嗎？為什么呢？

生：很美，演員們跳舞的樣子很優美。

生：畫面很美，畫面都是對稱的。

師：芭蕾舞已經很美了，對稱讓整體的畫面看上去更美了，導演是怎么會想到利用對稱的美設計這段表演的呢？其實大自然中，就有很多讓人感覺到對稱的事物，看！

（二）感受對稱之實

出示大自然中的圖形。

師：有沒有想過為什么蝴蝶、蜻蜓和甲蟲是對稱的？

生：飛得穩，爬得穩。

師：大自然中讓人感覺到對稱的事物還有很多，我們人類也很早就從大自然中發現了對稱的美，并且把這些美用他們自己的方式記錄了下來，看！這是大約7000年前人類制作的彩陶盆（圖1），還有彩陶上的人面魚紋，是不是對稱的呀？5000年前，兩河流域的先民們早已經廣泛使用了對稱的美，從一些出土的文物（見圖2）中我們就可以看出。1500年前的敦煌莫高窟的壁畫（見圖3）上也記載著迷人的對稱美！

師：更神奇的是從古至今、從中到外的許多優秀的建筑設計都用了“對稱”。比如，大約500年前意大利建筑大師設計的作品和后人模仿改良的建筑（見圖4），故宮的太和殿和印度的泰姬陵。

師：（出示圖5）看這是什么？對了是剪紙！但很少有人知道安徒生也是“剪紙大師”！ 這位詩人總是隨身帶著一把剪刀，用剪紙取悅大人和孩子。他一面說故事一面剪紙，剪紙完成時，故事也講完了。故事的高潮便是他把神秘的剪紙打開，展現出最后的圖案。他的一幅幅剪紙就是一篇篇童話。

師：還有我們的雙喜剪紙，都給人對稱的感覺。

（三）探索對稱之理

1. 獨立操作。

師：那么小朋友們，你能剪出一個對稱圖形嗎？好，請每一位同學從學具盤里拿一張彩紙，看你有幾種方法剪出一個軸對稱圖形，我們比一比哪一種方法最好。

2. 學生分享。

學生展示作品，見圖6。

師：第一幅圖你是怎么剪的？

生1：我就是一對折，然后剪一個圖形，打開以后就是這個圖形了。

師：怎么證明你剪出的圖形是對稱的？

生1：這個圖形，對折，左右能夠重合就說明它是對稱的。

師：第二幅圖是誰剪的？你剪的是什么？

生2：我剪的是飛機，也是先把紙對折，然后在折痕旁邊畫飛機的一半，最后把紙打開就是這個飛機了。

師：其他的幾幅圖也是這么畫的嗎？

生：對！

師：小朋友們真厲害，通過折一折剪一剪，剪出了一個這樣的對稱圖形，其實，像這些，將一個圖形通過對折一次后，兩邊的圖形完全重合，在我們的數學中就叫作軸對稱圖形。軸在數學中表示一條直線。看，對折時，這里留下的一條折痕叫“對稱軸”。

師：為什么叫它對稱軸呢？

生：軸表示一條直線，對稱表示兩邊重合。

師：那么軸對稱又是什么呢？

生：軸對稱指的是黑板上這種，對稱的圖形，指的是一種圖形。

師：對！軸對稱圖形指的是像這樣的圖形，對稱軸指的是這條折痕，是一條直線 ！

師：對稱軸我們可以用一條直線來表示，直線畫在紙上又是用線段來表示的，線段的長度要超過圖形。請你畫一畫剛才你剪的軸對稱圖形中的對稱軸。

（四）練習鞏固

1. 從交通標識中選取5個圖形讓學生判斷是否為軸對稱圖形，并說明理由。

2. 從少先隊隊徽中抽取基本圖形五角星和圓（見圖7），讓學生判斷這兩個軸對稱圖形對稱軸的數量。

（五）體會對稱之用

1. 利用方格紙找出五角星的對稱軸。

2. 繪制軸對稱圖形（作為課后練習）。

師：老師在準備五角星的時候，不小心打翻了墨汁，有一半的五角星被涂掉了（出示圖8）！小朋友們快幫我想想辦法，怎樣在這個五角星的基礎上補全另一半呢？

（六）課堂小結

師：今天大家有什么收獲？

生：我知道了對稱軸是軸對稱圖形當中隱藏的一條線。

生：我知道了生活中有很多對稱的圖形。

四、學生反饋

課后，對班級32名學生的問卷調查與課后練習進行統計，掌握了如下學情。

1.學生對對稱之用背后的緣由有了一定的認識。

針對“為什么很多昆蟲，比如蝴蝶、蜻蜓、甲蟲的身體都是對稱的”的提問，有24名同學認為與保持平衡有關，如“如果它們不對稱，飛起來就會斜”“因為這樣才能保持平衡”“因為如果不對稱的話，昆蟲就容易掉下來”“因為只要它們一邊重，一邊輕，飛的時候就會掉下來”；針對“有很多建筑大師將軸對稱圖形應用于建筑設計，請你說明其中的原因”的提問，有23名學生感受到了生活中有那么多對稱的建筑設計或藝術作品是對稱之美，如“原因是這樣做很美觀”“看起來好看”“因為這樣的設計具有古典美感和次序感”。

2.學生基本上掌握了這節課的知識內容。

針對“請你寫出已學的找軸對稱圖形對稱軸的方法，并畫出正方形所有的對稱軸”的問題，雖只有5名學生回答了前一問題，“方法1，折一折；方法2，量一量”“可以折的就把它對折，能夠合起來的線就是它的對稱軸，不能合的就用尺量中間的數（所在的點）就是（對稱軸經過的點）”“把圖形對折，如果重合，那么就是軸對稱圖形，對折的那條線就是對稱軸”“方法1，對折，如果兩邊完全重合的話，中間的折痕就是這個圖形的對稱軸；方法2：先量出這個圖形一邊的長度，再量出一邊一半的長度”，有28名學生正確地畫出了正方形中的4條對稱軸，其余4名學生正確地畫出了部分對稱軸。對于課后練習“根據對稱軸，畫出軸對稱圖形（如圖9）的另一半”的題目，完全正確的有16人，15人因未能找到不在格點上的一點的對稱點而未能補全圖形，未做對的只有1人。

3.學生有了積極的情感體驗，對這節課的評價較為多元。

在對問題“當你得知丹麥的安徒生不僅是偉大的童話大師，還是剪紙大師時，你有什么感想”的回答中，大部分學生（94%）都相當震撼，“原來童話大師也能剪出這么棒的剪紙呀！”“我覺得安徒生好厲害”。對于問題“這節課，你印象最深的是什么？為什么”的結果統計發現，學生對這節課的認識較為多元，且視覺感受與動手操作帶來的影響較大，分別占總數的30%左右。

五、結語

將數學史料融入“軸對稱圖形”的教學，引導學生在社會與自然、藝術與建筑、古代與現代的交織中感受對稱的文化魅力與實用價值；通過課后的調查發現學生在視覺直觀與動手操作中，較好地掌握了軸對稱圖形與對稱軸。同時，“發現對稱之美—體會對稱之實—探索對稱之理—感受對稱之用”的思路遵循知識發生、發展的過程，也大致與學生的認知發展規律相一致，因此，按照這一思路實施教學，會讓學生感受到數學知識的學習是一件自然而然的事情，數學學習是發現規律、解決問題的過程，這將有助于學生思維品質的培養。因此，“軸對稱圖形”算得上一節文化氣息濃厚且能培養學生理性思維品質的小學數學課。

小學數學呼喚文化氣息濃厚且能培養學生理性思維品質的課堂，因為這樣的課堂既能培養學生的關鍵能力，又能培養學生的必備品格。在今后的教學中，我們不妨以核心素養的培養為基，在課堂中適當地融入與教學主題密切相關的數學家解決問題的方法，甚至是錯誤的方法、數學家的故事，讓這些數學史上的人物、事件真正發揮“課堂中一名額外學生”的價值，讓學生在和古人的“對話”中得到發展。

參考文獻：

[1]Wang，X.， Qi， C.&Wang， K. A Categorization Model for Educational Values of the History of Mathematics： An Empirical Study[J].Science & Education， 2017，26（7-9）：1029-1052.

[2]岳增成，沈中宇.HPM與小學數學教學核心問題探索——汪曉勤、鄒佳晨老師訪談錄[J].小學教學（數學版），2017，（11）：4-9.

[3]汪曉勤.數學文化透視[M].上海：上海科學技術出版社，2013：1-8.

（上海理工大學附屬小學 200093）