基于核心素養的向量建模復習課*

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(華維外國語學校,浙江 紹興 312300)

高三，是學生沖刺高考的備考階段，是查漏補缺、復習鞏固的最后機會.然而數學難，是學生共認的，難在知識點的理解，難在知識點的融合，難在題目的變形，難在解題方法的千變萬化和思維要求之高，等等.在數學高考中如何爭取更多的分數，決定了高考整體的成敗，作為數學教師，肩上承擔了“如何提升學生的數學解題能力”的責任.課堂是學生學習數學的主要陣地，課堂教學是教師“傳道授業解惑”的主要方式，如何提高課堂教學的效度，變“授學生以魚”為“授學生以漁”，是每個數學教師必須思考的實際問題.

核心素養，是近幾年提出的對高中學科教學的綜合性教學目標.數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析，全面概括了高中數學的教學核心目標，體現了學生的數學綜合素養.

基于數學核心素養，教師應著重對學生的知識結構的形成與建立、對課堂知識的展示與鞏固、對解題思路的引導與激發進行爆破性梳理.在此基礎上對學生的知識理解和應用進行突破和引導，提升學生解決數學問題的能力高度.本文重點基于“數學抽象”，形成“直觀想象”，明確“數學建模”，對高考數學復習中的向量問題進行系統性解惑.

1 向量建模之點到直線的距離

數學的基本思想是“抽象”，即抽絲剝繭，舍棄問題的物理屬性，從中得到問題的研究對象，抓住數學本質，把概念與概念間的聯系直接轉化為解題的思路.

|b-ta|(其中t∈R)初看之下就是求某個向量的模長，如果學生采用兩邊平方就會陷入計算的麻煩.事實上從幾何意義的角度看：若a與b起點相同，則|b-ta|(其中t∈R)就是求b的終點到a所在直線上點的距離，這樣的模型建立使得求|b-ta|(其中t∈R)的最小值簡單易懂.

例1已知共面向量a,b,c滿足|a|=3，b+c=2a,且|b|=|b-c|.若對每一個確定的向量b，記|b-ta|(其中t∈R)的最小值為dmin，則當b變化時，dmin的最大值為

( )

A.0 B.2 C.4 D.6

(2017年浙江省臺州市數學質量調測試題第10題)

圖1

OB=BC,

即

(rcosθ+3)2+r2sin2θ=4r2,

整理得

r2-2rcosθ-3=0，

于是

而|b-ta|(其中t∈R)的最小值為dmin,則

因此dmin的最大值是2.故選B.

2 向量建模之三角形

向量的加法、減法與三角形有著天然的聯系，我們可以利用三角形中的幾何關系來簡化向量的運算，實現快速解題.提到三角形，學生會想到：三角形的邊長關系、正(余)弦定理等，有時候甚至延伸到平行四邊形.這些均為簡潔有效的解題方法，而解題關鍵是如何找到問題知識與解題方法之間的聯系，建構正確的思維框架，最后解決問題水到渠成.

圖2

例2已知平面向量α,β(其中α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______.

分析利用題設條件及其幾何意義，構造三角形即可迎刃而解.本題主要考查平面向量的四則運算及其幾何意義，突出考查問題的轉化能力和數形結合的能力.

從而

3 向量建模之圓形

學生在初中階段就詳細具體地學習過圓，因此圓對高三學生來說是比較容易建立的模型之一，而且在高中解析幾何教學中，又給圓插上了坐標的翅膀.當兩個向量垂直(或者夾角為定值)時，我們可以直接構造圓來求解，特別是求某個量的范圍時，可以采用坐標法進行數據處理.

例3已知平面向量a,b滿足|a|=|b|=a·b=2，且(a-c)·(b-c)=0，則|b+c|的最大值為______.

(2017年浙江省紹興市上虞區二模數學試題第16題)

圖3

4 向量建模之面積

空間的“直觀想象”體現了學習者的數學素質.根據待解決的問題，借助幾何直觀和空間想象能夠感知問題的形式與變化，利用圖形相連來描述數學問題，利用圖形相通來分析數學問題，構建有效的直觀數學模型來解決數學問題，提升學生數形結合的能力，培養創造性和轉化性思維.

在向量題中，面積類問題在高考模擬卷中是新出現的題型.它集中了向量數量積的概念、三角函數、點到直線的距離等知識點，屬于向量中的綜合類題型，對學生的思維要求較高，不僅需要扎實的基礎知識，還需要知識間的融會貫通.

例4已知平面向量a,b,c滿足|a|=4，|b|=3，|c|=2，b·c=3，則(a-b)2(a-c)2-[(a-b)·(a-c)]2的最大值為

( )

(2017年浙江省紹興市柯橋區二模數學試題第9題)

從而(a-b)2(a-c)2-[(a-b)·(a-c)]2=

BA2·CA2-(BA·CA·cos∠BAC)2=

(BC·h)2,

5 向量建模之空間圖形

歷年浙江省數學高考中，向量一直以平面向量的形式呈現，而且在實際教學中，空間向量往往是一種解決立體幾何問題的工具，并不單獨考查.2015年浙江省數學高考理科試題第15題，很多考生未能成功破解的主要原因：除題目本身具有一定的思維難度之外，關鍵是沒有關注到該題考查的是“空間”向量還是“平面”向量，進而影響到構造的是平面圖形還是空間圖形.

(2015年浙江省數學高考理科試題第15題)

6 向量建模之綜合題型

綜合題型是考查向量的最高層次，融合了各種與向量有關的元素：三角形、圓形、三角函數、坐標、最值等，考查學生圖形處理、數據運算、邏輯推理等數學核心素養，對學生數學思維的訓練和解題能力的提升具有相當重要的作用.

( )

(2017年嘉興市第一中學、杭州高級中學、寧波效實中學等五校第二次聯考數學試題第10題)

f=|m|2+|n|2+m·n,

從而

利用三角函數的有界性,得

7 幾點反思

反思1向量是高中數學中重要的數學概念和數學工具之一，是數形結合的一個典范，代數問題幾何化、幾何問題代數化等多角度思維，是向量問題的特點.

反思2對于數學核心素養而言，向量幾乎涵蓋了核心素養的所有方面，包括抽象、推理、建模、想象、運算和分析，概括了高中數學的教學核心目標，考查了高中學生的數學核心思維，體現了思考分析、數學建模等核心能力.

反思3向量教學應著重對知識結構的形成與建立進行有效引導，教師應對課堂知識的理解與鞏固進行有效指導，對解題思路的分析與突破進行有效向導，努力做到“授人之漁”.

反思4在高考中顯性的向量問題多以選擇題和填空題的形式出現，可以利用數形結合來解決.但在實際解題中，能取得意外效果、達到“事半功倍”的往往是那些隱性的向量問題.

圖4

1)求直線AP斜率的取值范圍；

2)求|PA|·|PQ|的最大值.

(2017年浙江省數學高考試題第21題)

總之，對于向量問題，通過“抽象”，形成“想象”，正確“建模”，有利于提升向量復習課堂教學的針對性，提高學生解決向量問題的有效性.