核心素養觀念下的數與代數教學及啟示*
——以“分式的乘除”為例

●

(浙江師范大學教師教育學院，浙江 金華 321004)

●吳志權

(長興縣實驗中學,浙江 長興 313100)

核心素養已成為當下數學教育改革的一個熱點，然而如何在課堂教學中培養學生的核心素養，這是一個值得深入探討的問題.筆者以吳志權老師“分式的乘除”一課為例，討論如何從簡單的數學內容中挖掘深刻的學科內涵，通過問題驅動學生的思考，在類比遷移中促進學生數學思維的形成，以期為數學核心素養的落實提供一些借鑒.

1 教材內容概況

本節課的教學目標為：學生利用“類比學習”，經歷分式乘除法則的建構過程；理解分式的乘除法則，會運用法則進行運算，并能解決一些與分式相關的實際問題；滲透類比轉化的思想，在學習知識的同時學到數學方法，發展數學思維.本節課的教學重點是分式的乘除法則及其運用.分子、分母為多項式的分式乘除運算具有一定的復雜性，是本節教學的難點.

2 關鍵教學片斷

片斷1體驗法則階段.

師：你知道這一章有哪些內容嗎？

(學生開始翻書的目錄，教師適時用多媒體展示本章節的目錄.)

師：我們是怎樣獲得分式的概念、性質的？

(教師引導學生回顧舊知的學習過程，為新知識的學習打下基礎.教師多媒體展示分式的概念、性質這幾節內容的導入部分，讓學生體會類比這一重要的數學思想.)

師：那同學們思考一下關于分式的運算，我們該如何來學習呢？

生：我們可以通過類比分數的運算來學習分式的運算.

(教師給出兩道分數的乘除運算題，學生快速地解答.緊接著，教師拋出兩道單項式的乘除運算題，讓學生自主進行類比學習.)

師：請說一說你對分式的乘除有哪些新的認識？

生1：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母；分式除以分式，就是將其化為乘式，按照分式的乘法進行運算就好了.

師：怎么化為乘式？

生1：把除式的分子、分母顛倒位置，把除號變為乘號.

師：這是大家自己總結的分式的乘除法則，現在請同學們翻開課本，看課本上是如何歸納分式的乘除法則.

(通過對比課本，使學生對分式的乘除法則有一個較為清晰的認識.)

師：之前我們用字母來表示分數的乘除法則，現在哪位同學能嘗試用字母表示分式的乘除法則？

師：對比分數的乘除，同學們思考一下它們之間有哪些區別與聯系？

生2：分數的乘除法則在分式中也能通用！

師：很好！還有嗎？用字母表示分式的乘除法則，這里的字母表示什么？

生3：數！

生4：單項式！多項式！

師：也就是說這里的字母不僅僅局限于數，也可以表示式.

片斷2法則操作階段.

從下面所給的4個代數式中任意選擇兩個，用“×”或“÷”連接，并進行計算：

師：請同學們根據題目要求給自己設計一道題目，再給同桌設計一道題目.

(教師巡視并指導學生改正運算中出現的錯誤.之后，通過實物投影將學生的作品進行展示，一些學生出現了典型性錯誤，全班一起尋找犯錯的原因并幫助其改正.)

師：通過之前的練習，你能說說分式的乘除運算一般要經歷哪些步驟？

生5：先因式分解，再約分，然后得到結果.

師：分式的乘法是這樣的，那除法呢，第一步先做什么？

生5：除式的分子、分母顛倒位置，將除號化為乘號.

師：分式乘除運算的一般步驟可以歸納為:先“化乘”，然后再因式分解、約分，最后得到結果.大家同意不？

生(眾)：同意！

師：我們剛才只選擇了兩個代數式進行分數的乘除運算，如果讓你選擇其中的3個，你會計算嗎？請動手試試看.

(教師用多媒體展示一些學生的作品，并強調了多個代數式乘除運算時應注意運算順序、符號意識、化簡等問題.)

片斷3法則運用階段.

一個長、寬、高分別為l,b,h的長方體紙箱裝滿了一層高為h的圓柱形易拉罐(如圖1所示).

圖1

師：現在有這樣一個生活情境，你能提出哪些數學問題？

生6：求一個易拉罐的體積.

生7：求這個長方體紙箱的體積.

生8：這個紙箱共能裝多少個易拉罐？

生9：裝滿易拉罐后，紙箱還剩下多少空間？

……

師：大家提出的問題都非常精彩，現在我們一起來解決這些問題.

師：求一個易拉罐的體積，易拉罐是圓柱形，圓柱的體積大家會算嗎？

生(眾)：會！圓柱體積是πr2h.

師：紙箱呢？它是長方體的.

生(眾)：lbh.

師：很好！一個紙箱共能裝多少個易拉罐？

生10：紙箱的容積除以一個易拉罐的體積就可以了.

師：大家覺得可以嗎？

(有的學生表示贊同，有的學生覺得有點問題.)

師：如果按照生10的想法，理論上是可以的，但實際呢？大家有沒有想過易拉罐之間的空縫呢？紙箱的容積除以一個易拉罐的體積，就會把這些空縫也算進去，但實際操作是不行的.

生11：可以先算出紙箱一行能放幾個，再算出一列的個數，乘起來就是總的個數.

師：一行的個數怎么算？一列呢？

師：你的想法非常棒！紙箱的剩余空間這個問題誰能解決？

師：課本上也提出了一個問題，求紙箱空間的利用率,利用率就是易拉罐總體積與紙箱容積之比.這個問題大家能解決嗎？

3 核心素養視野下的教學分析

時下，新一輪基礎教育數學課程改革高度關注學生核心素養的發展.史寧中認為核心素養是后天習得的、與特定情境有關的，是通過人的行為表現出來的，因此是可監測的知識、能力和態度；涉及人與社會、人與自己、人與工具這3個方面，最終要落實在人即受教育者身上，他進而提出可以從讓學生學會“用數學的眼睛看”“用數學的思維想”“用數學的語言說”[1]，這3個方面將學科核心素養的培養貫穿于數學教學中.本課例是一則精彩的基于學生核心素養發展的數學教學，靈動且富有彈性.吳老師充分挖掘教材資源，并對教學素材進行重組與優化，成功地做到教學設計“源于教材，高于教材”；引導學生體驗法則的產生、操作和運用過程，并在此過程中給予學生充分的思考、合作、交流、表達的空間.

3.1 用數學思維分析世界

現代教育實踐竭力追求“形式教育(思維訓練)”與“實質教育(知識)”的統一.李藝認為從思維層面上構建學科思維體系的系統性、完整性和豐富性，并通過課程實施將其轉化為學生的內在品質，是實現兩者統一的有效途徑[2].數學學科所特有的抽象概括、邏輯推理、類比推理等思維方式，需要通過課堂教學加以落實，使學習者能夠像數學家一樣深入思考問題.

吳老師在教授分式的乘除法則時，每一處教學細節都注重學生數學學科思維的培養.教學一開始，吳老師便讓學生從章節的整體結構理解新知與舊知之間的關系，通過聯系分式的概念、性質的探究方法，潛移默化地滲透類比學習的思想，引導學生自主建構分式的乘除法則.在此過程中，吳老師幫助學生通過類比思維和一般化思維將分數概念及其運算規律類比推廣至分式，從而達到數與代數的巧妙過渡.法則運用階段，特別是計算多項式的乘除時，有些學生就會出現未及時因式分解、約分而使整個運算變得繁瑣復雜，吳老師就會引導學生反思因式分解、約分的真正涵義.算理是運算的思維本質，運算法則是算理的外在表現形式，它使運算變得簡便易行.法則教學不能僅僅停留于運算法則的教授，而要在學生熟悉運算法則后，進一步引導學生對運算過程進行反思與再創造.這樣的教學處理是以思維為主線、以算理為先導、以創造為旨向，在此意義下，學生不僅發現、歸納出運算法則，而且理解了算理，甚至能創造出更為簡便的運算方法，從而實現算法與算理的統一.

本節課對類比思想的滲透無疑是成功的，類比思維、一般化思維也將為學生主動研究新的問題提供可能.數學學科思維的獲得過程具有長期性，不可能一蹴而就，必須經歷長時間、系統而復雜的數學學習活動和心理過程才能獲得[2].本節課也成功地向我們展示了學生通過體驗法則的形成、運用和再創造過程，將數學思維內化為自身的內在品質既關注到“雙基”內容的掌握，也實現了運算規則的遷移，經歷了規則的創造過程.

3.2 用數學眼光觀察世界

用數學的眼光看世界就是對現實世界進行抽象，從而進入數學內部.數學抽象常常用數學符號或者術語予以表征.體驗法則階段，吳老師不斷向學生提問“你能類比分數的乘除，嘗試用字母表示分式的乘除法則嗎”“你知道這里的字母表示什么嗎”“分數的乘除法則我們曾用字母表示，現在我們也能用字母表示分式的乘除，兩者的字母表示有什么聯系與區別嗎”……通過不斷地設問，幫助學生建立和強化符號意識，讓學生感知符號表達是對數量關系的一種抽象，逐漸學會用數學的眼睛看世界.鄭毓信認為如果“數學地看待世界”可以被看成“數學素養”的顯性表現，那么“數學素養”的核心所在就是幫助學生通過數學學會思維，并能逐步學會想得更清晰、更全面、更深、更合理[3].

在法則運用階段，吳老師設計大膽，鼓勵學生用數學的眼光看待世界、發現問題、表述問題.基于情境學生主動發散思維，舍棄具體背景中的物理屬性，嘗試從數量關系、圖形關系中抽象出數學研究對象，如“求一個易拉罐的體積”“求這個長方體紙箱的體積”“這個紙箱共能裝多少個易拉罐”等.傳統的例題講授往往將學生的思維聚焦于已知的問題上，在某種程度上會限制學生的思維發散度，這樣的活動經驗最終會削弱學生對問題的敏感度，導致思維定勢.吳老師對情境的開放性處理，不僅能激發學生的學習興趣，給予學生充分的思考空間，而且賦予不同層次的學生同等的學習機會，充分發揮自己的潛能，共同體驗數學成功感，讓學生在這個過程中學會從多視角、多層次思考問題，與此同時，思維品質和思維能力得以提升.

3.3 用數學語言表達世界

學生學好數學，不僅僅是指學生掌握數學知識、獲得數學思想、形成數學思維，還指學生能體會到數學的文化價值以及數學發展中所展現出來的文化性[4].因此，我們可以從學生熟悉的日常生活、社會生活、歷史生活等方向尋求和篩選有效的教學素材，從而實現“數學生活化”.數學模型是用數學語言描述實際問題，用數學知識與方法構建模型、解決問題，是溝通數學與現實世界的橋梁.

吳老師對教材中的例題進行了優化，將紙箱空間的利用率問題轉化為一個開放性問題，讓學生提出一個個小問題，然后逐個加以解決.這種問題解決式學習有助于培養學生綜合運用所學知識解決新問題的能力，使學生學會解決一類的利用率問題.利用率的數學模型在現實生活中有著較為廣泛的應用，如常見的土地利用率問題、工業設備利用率問題、光能利用率問題、資本利用率問題等等.利用率模型是分式除法運算的一個典型運用，吳老師在處理這個問題時有意識地將利用率模型傳遞給學生，而不是簡單地教授分式除法的運算知識，使得學生對利用率的認識不僅僅局限于教材上的紙箱空間問題，而是從深層次上把握利用率問題的實質，進而能用數學知識與方法構建模型，成功解決現實中的利用率問題.在數學教學活動中培養學生的數學建模素養，能夠幫助學生感悟數學與現實之間的關聯，使其加深對數學內容的理解，逐步積累數學實踐經驗，進而提升應用能力，增強創新意識[1].

核心素養觀念下的數學教學，其終極目標在于:一個人學習數學之后，即便這個人未來從事的工作和數學無關，也應當會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維分析世界，會用數學的語言表達世界[1].實踐教學中如何讓學生在掌握知識、技能的同時，積累數學思考的經驗，形成數學思維，乃至發展數學核心素養是值得我們不斷探索的問題.

參 考 文 獻

[1] 史寧中.學科核心素養的培養與教學——以數學學科核心素養的培養為例[J].中小學管理,2017(1):35-37.

[2] 李藝,鐘柏昌.談“核心素養”[J].教育研究,2015(9):17-23.

[3] 鄭毓信.數學教育視角下的“核心素養”[J].數學教育學報,2016,25(3):1-5.

[4] 陳碧芬,張維忠,唐恒鈞.“數學教學回歸生活”:回顧與反思[J].全球教育展望,2012,41(1):86-92.