一道能讓“隱圓”大展身手的幾何題*

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(南京金陵中學(xué)河西分校,江蘇 南京 210019)

原創(chuàng)題如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為∠BAC的角平分線上一點(diǎn)，且∠BDC=67.5°，求證：CD=BC.

圖1 圖2

此題題干簡練、圖形清晰，看似不難，但提筆求解卻并不容易，筆者先利用八年級的數(shù)學(xué)知識給出一種證法：

證法1因?yàn)椤螦CB=90°，AC=BC，所以

∠BAC=∠ABC=45°.

如圖2，作DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，則

DE=DF， ∠FDE=135°，

又因?yàn)椤螧DC=67.5°，所以

∠BDF+∠CDE=67.5°.

延長CE至點(diǎn)G，使得EG=FB，可得

Rt△DEG≌Rt△DFB(SAS)，

從而

DG=DB， ∠GDE=∠BDF，

于是∠GDC=∠GDE+∠CDE=67.5°=∠BDC.

又DC=DC，得△GDC≌△BDC(SAS)，從而

于是

∠DBC=67.5°=∠BDC，

故

CD=BC.

評注由角平分線上的點(diǎn)想到作“雙垂線”非常自然，但后續(xù)的輔助線及兩次全等三角形的證明，顯然不易.能從其他角度求解嗎？下面筆者利用“隱圓”再給出另5種較為簡潔的證法，供讀者參考.

證法2因?yàn)椤螦CB=90°，AC=BC，所以

∠BAC=∠ABC=45°.

如圖3，作△ABD的外接圓交AC的延長線于點(diǎn)E，則∠BDE=135°，從而

∠EDC=135°-67.5°=67.5°=∠BDC.

因?yàn)锳D平分∠BAE，所以BD=ED，又DC=DC，于是

△BDC≌△EDC(SAS)，

從而

∠DBC=∠BDC，

故

CD=BC.

圖3 圖4

證法3因?yàn)椤螦CB=90°，AC=BC，所以

∠BAC=∠ABC=45°.

如圖4，作△ABC的外接圓交AD于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE,CE，則

∠BEA=∠BCA=90°， ∠BED=90°，

∠BEC=135°=2∠BDC.

因?yàn)镋D平分∠BAC，所以

BE=CE，

點(diǎn)E為△DBC的外心，可知

∠BCD=∠BED=45°，

從而

∠DBC=67.5°=∠BDC，

故

CD=BC.

評注這兩種證法通過作出“隱圓”——三角形的外接圓，促成了角的關(guān)系顯性化，特別是證法2，從作外接圓到產(chǎn)生新的“隱圓”，為問題的解決鋪平了道路.

證法4因?yàn)椤螦CB=90°，AC=BC，所以

∠BAC=∠ABC=45°.

如圖5，設(shè)E為△ABC的內(nèi)心，則點(diǎn)E在AD上，聯(lián)結(jié)BE,CE，則BE平分∠BAC,CE平分∠ACB，可知

∠BEC=112.5°，

從而

∠BEC+∠BDC=180°，

因此點(diǎn)B,E,C,D共圓，從而

∠DBC= ∠DEC=∠EAC+∠ECA=

67.5°=∠BDC，

故

CD=BC.

圖5 圖6

證法5因?yàn)椤螦CB=90°，AC=BC，所以

∠BAC=∠ABC=45°.

如圖6，在AC的延長線上取點(diǎn)E，使得AE=AB，聯(lián)結(jié)BE,DE，則

∠AEB=∠ABE=67.5°=∠BDC，

從而點(diǎn)B,C,E,D共圓，于是

∠BDE=180°-∠BCE=90°.

因?yàn)锳D平分∠BAE，所以AD垂直平分BE，可得

BD=ED，

即

∠DBE=45°，

從而 ∠DBC=∠EBC+∠DBE=67.5°=∠BDC，故

CD=BC.

證法6因?yàn)椤螦CB=90°，AC=BC，所以

圖7

如圖7，在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，聯(lián)結(jié)CE,DE，則

∠AEC=∠ACE=67.5°=∠BDC，

從而點(diǎn)B,E,C,D共圓，于是

∠CDE=∠ABC=45°.

因?yàn)锳D平分∠CAE，所以AD垂直平分CE，可得

CD=ED，

從而

得

∠DBC=67.5°=∠BDC，

故

CD=BC.

評注這3種證法通過證明“隱圓”——四點(diǎn)共圓，使得角的關(guān)系更加密切，問題的解決也就水到渠成了.

這是一道難得一見的幾何題.幾種確定“隱圓”的常用方法在此大展身手，彰顯了圓的獨(dú)特魅力.圖中無圓，心中有圓，難題不難.波利亞曾說過：“一個專心、認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域.”在日常教學(xué)中善于發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造這樣的問題，是教師專業(yè)發(fā)展的必修課，也是成為優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的必由之路.