細(xì)研教材 整體架構(gòu) 領(lǐng)悟本質(zhì) 提升素養(yǎng)*
——由兩道立體幾何題測(cè)試結(jié)果引發(fā)的思考

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(靈璧第一中學(xué),安徽 靈璧 234200)

1 問題提出

筆者所在學(xué)校高二年級(jí)近期安排了階段考試(內(nèi)容為《數(shù)學(xué)(選修2-1)》)，學(xué)生交出的答卷慘不忍睹，結(jié)果觸目驚心.教師一天到晚備課、上課、輔導(dǎo)等，教學(xué)不留余力，學(xué)生不分晝夜記錄、模仿、練習(xí)、思考等，學(xué)習(xí)廢寢忘食.辛勤的勞動(dòng)換來(lái)的卻是微薄的收獲，豈不令人心灰意冷、心生倦怠？為什么會(huì)出現(xiàn)如此現(xiàn)象？我們又該如何應(yīng)對(duì)？本文以其中的兩道立體幾何試題為例，談?wù)劰P者對(duì)相關(guān)問題的理解，不足之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

2 案例剖析

例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段DD1上的動(dòng)點(diǎn)，直線MN與平面ACB1的夾角為α，則cosα的取值范圍是

( )

本題為全卷的第12題(選擇題壓軸題)，總分5分，全年級(jí)平均得分1.68分.與學(xué)生交流得知：少數(shù)學(xué)生一看到動(dòng)態(tài)問題就頭腦發(fā)懵、心慌意亂，只能憑借感覺進(jìn)行選擇；部分學(xué)生通過點(diǎn)N分別與點(diǎn)D，D1重合這兩種極端狀態(tài)，利用坐標(biāo)法并結(jié)合選項(xiàng)得出正確答案(或錯(cuò)選B)；多數(shù)學(xué)生認(rèn)為平面直角坐標(biāo)系中直線MN的方向向量與平面ACB1的法向量夾角的余弦值就是所求答案，功敗垂成、功虧一簣；得出正確答案的大部分學(xué)生采用下文解法1，耗時(shí)費(fèi)力，事倍功半.

解法1不妨設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2(下同)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)、以AB，AD,AA1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0)，C(2,2,0)，B1(2,0,2)，M(1,1,0)，N(0,2,t)(其中0≤t≤2)，從而

由0≤t≤2，得

r=t-1∈[-1,1]，

于是

當(dāng)r=0，即t=1時(shí),

cos2α=0，

故

cosα=0.

當(dāng)r∈(0,1]時(shí)，

故

當(dāng)r∈[-1,0)時(shí),

故

解法2(上同解法1)

解法3如圖1，由三垂線定理可知BD1⊥平面ACB1，可證平面BDD1B1⊥平面ACB1，且平面BDD1B1∩平面ACB1=B1M.當(dāng)N為線段DD1的中點(diǎn)時(shí)，MN⊥平面ACB1，此時(shí)cosα=0.作DH⊥B1M于點(diǎn)H,D1G⊥B1M于點(diǎn)G,則在Rt△DMH中，

在Rt△D1MG中

結(jié)合選項(xiàng)可知答案為A.

圖1 圖2

解法4(上同解法3)

取線段DD1的中點(diǎn)N0，則MN0⊥平面ACB1(如圖2)，則

cosα=sin∠NMN0.

當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)N0重合時(shí),

cosα=sin∠NMN0=0；

當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí),

當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D1重合時(shí)，在△N0MD1中，由正弦定理可得

評(píng)注空間的角包括直線與直線所成的角α、直線與平面所成的角β、平面與平面所成的角γ(不同于二面角).它們由構(gòu)成圖形的兩個(gè)要素的方向來(lái)決定，而與這兩個(gè)要素的具體位置無(wú)關(guān).空間兩條直線s1,s2的“方向”用其方向向量s1,s2來(lái)表示，可得cosα=|cos|；兩個(gè)平面m1,m2的“方向”用該平面的法向量n1,n2來(lái)刻畫，根據(jù)定理(在平面內(nèi)，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ))可得cosγ=|cos|；直線s(其方向向量為s)與平面m(其方向向量為n)所成的角滿足sinβ=|cos|.一些學(xué)生不清楚為什么要用直線的方向向量、平面的法向量來(lái)表示直線、平面的“方向”，對(duì)空間的角概念的抽象過程認(rèn)識(shí)模糊，結(jié)論死記硬背，套用公式生吞活剝，張冠李戴在所難免.

例1的解法1與解法2為坐標(biāo)法，通過空間直角坐標(biāo)系將其標(biāo)準(zhǔn)化，無(wú)需找出線面角，對(duì)空間想象能力要求不高.只不過解法1更聚焦目標(biāo)cosα，嘗試以靜制動(dòng)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解，求解過程中遭遇到r的符號(hào)不定(正號(hào)、負(fù)號(hào)和0)，需要分類討論，過程繁雜(若學(xué)生學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法可優(yōu)化解題過程).解法2利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，保持s始終為正，優(yōu)化了解題過程.解法3與解法4著眼于直線與平面所成角的定義，將立體幾何問題平面化.解法3根據(jù)選擇題的特點(diǎn)，利用特殊與一般的關(guān)系從幾種特殊狀態(tài)下的結(jié)論進(jìn)行邏輯推理判斷，事半功倍.解法4利用直線與平面所成角的定義將其轉(zhuǎn)化為平面問題，在隔離出來(lái)的平面圖形中借助正弦定理與角度變化的連續(xù)性對(duì)結(jié)論進(jìn)行了完整而嚴(yán)密的推證，是解法3的升級(jí)版.學(xué)生遇到動(dòng)態(tài)問題信心不足，表象是心理素質(zhì)不過硬，其深層原因是基礎(chǔ)不牢，思維無(wú)序.學(xué)生錯(cuò)選B，表明其對(duì)線面角的形成、發(fā)展過程體驗(yàn)不到位，抽象能力差，失分的結(jié)果看似令人惋惜，實(shí)則是對(duì)其學(xué)習(xí)能力的準(zhǔn)確回饋.

圖3

例2如圖3，平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°，且A1A=AD=1.

1)求AC1的長(zhǎng)；

2)求證：AC1⊥平面A1BD；

3)求三棱錐B-A1C1D的體積.

本題為全卷的第21題，總分12分，全年級(jí)平均得分1.82分.多數(shù)學(xué)生嘗試建立空間直角坐標(biāo)系將幾何問題代數(shù)化，主要的建系錯(cuò)誤為：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)、以DA，DC,DD1(DA1)所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，其中后一種建系方式可能受到試卷提供的圖的影響.

則

2)因?yàn)?/p>

即

AC1⊥BD.

同理可證

AC1⊥A1B，

又A1B?平面A1BD，BD?平面A1BD，A1B∩BD=B，故AC1⊥平面A1BD.

得點(diǎn)C1到平面A1BD的距離為

又△A1BD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，從而三棱錐B-A1C1D的體積為

分析21)由∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°，知點(diǎn)A1在平面ABCD中的垂足H落在直線AC上.由最小角定理cos∠A1AB=cos∠A1AH·cos∠CAB，得

圖4

如圖4，以AC與BD的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)、以O(shè)B，OC所在的直線為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

于是

3)設(shè)平面A1C1D的法向量為n=(x,y,z)，則

故三棱錐B-A1C1D的體積為

評(píng)注少數(shù)學(xué)生認(rèn)為向量法就是向量坐標(biāo)法.實(shí)際上向量法應(yīng)包括向量基底法和向量坐標(biāo)法，使用向量基底法的前提條件是已知構(gòu)成空間(平面)向量的(一組)基底的基向量的模及它們之間的夾角，而使用向量坐標(biāo)法的前提是條件中具備空間(平面)向量的一組單位正交基底.即前者是根本大法，是后者的根基；后者是前者的特殊情況，是特定統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)下的向量運(yùn)算.學(xué)生不了解它們之間的邏輯關(guān)系，就無(wú)法看透問題的本質(zhì)，解題時(shí)盲目類比遷移出錯(cuò)不足為奇.

3 教學(xué)思考

3.1 細(xì)研教材,整體謀劃

教學(xué)要處理好教什么(教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)深度)與怎么教(教學(xué)方式)的問題.教材是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的素材，理應(yīng)在教與學(xué)中發(fā)揮中流砥柱的作用.“知己知彼，方能百戰(zhàn)百勝”，只有研習(xí)了小學(xué)與初中、高中、大學(xué)(低年級(jí))的數(shù)學(xué)教材，才能做好教學(xué)的銜接，即及時(shí)做好高中教與學(xué)需要內(nèi)容(知識(shí)、思想方法等)的鋪墊，平穩(wěn)修完高中數(shù)學(xué)后還要“扶上馬送一程”.數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，教學(xué)只有基于學(xué)科整體，統(tǒng)整所學(xué)，將其熔融鑄為一體，才能真正發(fā)展核心素養(yǎng).

如《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第二章“空間向量與立體幾何”的內(nèi)容安排基于《數(shù)學(xué)(必修2)》第一章“立體幾何初步”與《數(shù)學(xué)(必修4)》第二章“平面向量”.教師要弄清每部分內(nèi)容安排的脈絡(luò)、重點(diǎn)、難點(diǎn)以及它們之間的聯(lián)系，教學(xué)時(shí)才能抓住關(guān)鍵點(diǎn)，做足必需的鋪墊.如《數(shù)學(xué)(必修2)》第一章從空間幾何體的整體入手，觀察、認(rèn)識(shí)空間立體圖形；再以長(zhǎng)方體為載體，直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的平行與垂直的位置關(guān)系；然后對(duì)有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定定理用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行嚴(yán)格表述，對(duì)性質(zhì)定理進(jìn)行論證；最后給出一些簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積的計(jì)算方法.教學(xué)中要讓學(xué)生通過經(jīng)歷直觀感知、操作確認(rèn)、思維論證、度量計(jì)算等階段培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、合情推理與演繹推理的能力.

3.2 理解學(xué)生，指導(dǎo)學(xué)法

現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論研究表明，理解性學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于構(gòu)建知識(shí)之間的聯(lián)系，而理解的程度則由聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度決定.從這個(gè)角度來(lái)看，數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)就是知識(shí)的結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化和豐富聯(lián)系.學(xué)生知識(shí)缺乏、視野狹窄、經(jīng)驗(yàn)不足，導(dǎo)致其課前預(yù)習(xí)、課堂聽課、課后反思等盲目無(wú)序,抓不住重點(diǎn)，無(wú)法領(lǐng)悟到問題的本質(zhì)，整體效益不高.“授之以魚，不如授之以漁”，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教授知識(shí)，而且要培養(yǎng)思維，即教會(huì)學(xué)生思考.教師是課堂的主導(dǎo)，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，只有激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，才能提高學(xué)生學(xué)習(xí)探究數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率.教師在強(qiáng)化教學(xué)示范作用的同時(shí)，深化理解學(xué)生在學(xué)習(xí)中的困難，給予學(xué)生有針對(duì)性的指導(dǎo).羅斯福曾說：“失敗固然痛苦，但更糟糕的是從未去嘗試.”教師要鼓勵(lì)學(xué)生嘗試操作、質(zhì)疑、交流、總結(jié)、創(chuàng)新等.

3.3 精心設(shè)計(jì)，知難而進(jìn)

學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格與關(guān)鍵能力.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)分析.這些核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體[1].學(xué)科核心素養(yǎng)的落腳點(diǎn)主要在課堂，高尚的人格才是最高的學(xué)問，只要我們熱愛學(xué)生、傾心教育，就能理解學(xué)生的所作所為，急學(xué)生之所急，惑學(xué)生之所惑，并嘗試給出解決方案.如學(xué)生為什么會(huì)有教輔依賴癥？因?yàn)榻梯o試題多而全，與考試題面目更接近.這應(yīng)引起教師對(duì)教材呈現(xiàn)方式、教學(xué)方式、命題技術(shù)、綜合評(píng)價(jià)等內(nèi)容全方位的思考并嘗試解決，自覺提高自己的教學(xué)修養(yǎng)，在教學(xué)過程中重道輕術(shù)，給學(xué)生更多的機(jī)會(huì)去做，給學(xué)生更多的時(shí)間去悟.

教師要充分挖掘教材的例題、習(xí)題、測(cè)試題等教學(xué)素材的功能，對(duì)接學(xué)生的認(rèn)知，精心設(shè)計(jì)，降低平臺(tái)，讓學(xué)生拾級(jí)而上，知難而進(jìn).通過精心設(shè)計(jì)的教學(xué)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解、解題方法的提煉、數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟、整體結(jié)構(gòu)的構(gòu)建、解題方案的優(yōu)化等，通過批判性思維深化認(rèn)知，提高思維的敏銳性、發(fā)散性與靈活性等，在較短的時(shí)間內(nèi)能對(duì)各種解題方案和策略進(jìn)行預(yù)設(shè)、調(diào)整、優(yōu)化等.

教學(xué)時(shí)要以課程標(biāo)準(zhǔn)、考試大綱等綱領(lǐng)性文件為標(biāo)桿，不能輕易降低或提高對(duì)相關(guān)內(nèi)容的要求，但要循序漸進(jìn)，謹(jǐn)防一步到位，還要想方設(shè)法改進(jìn)教學(xué)方式，使內(nèi)容更易被學(xué)生理解與接受.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[S].北京：人民教育出版社，2018.