三角形等分積周線的探究*

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(寧波教育學院,浙江 寧波 315010)

0 引言

三角形的等分積周線，即平分三角形面積的同時也平分此三角形周長的直線.2010年浙江省杭州數(shù)學中考模擬題中出現(xiàn)了等分積周線[1].由文獻[1]知對于特殊的三角形，存在等分積周線.文獻[2]借助幾何畫板對不等邊三角形直觀地給出了等分積周線的存在性.那么對于任意給定的三角形是否存在等分積周線？若存在，有幾條等分積周線？

文獻[3]給出了等分△ABC面積的所有直線，滿足條件的直線有無數(shù)條且將△ABC分為兩個三角形或一個三角形與一個四邊形，即至少有一個是三角形.因而若直線DE是△ABC的等分積周線，則只能是圖1、圖2或圖3的情形.不妨設|BC|=a，|CA|=b，|AB|=c.

圖1 圖2 圖3

如圖1，設|CD|=m，|CE|=n，則由DE平分△ABC的周長得

由DE平分△ABC的面積得

而

且

故

(1)

的兩個根.

(2)

的兩個根.

(3)

的兩個根.

因此，△ABC的等分積周線DE是否存在，只需考慮方程(1)或方程(2)或方程(3)是否有解.

1 等腰三角形

不妨設AB=AC，即b=c.按圖1、圖2、圖3這3種情形加以討論：

1.1 情形1

若a-2b=0，即

a=2b或a=b+c，

則與△ABC為三角形矛盾，從而Δ>0，于是方程(1)有兩個根

圖4

2)若b=a，即△ABC為等邊三角形，由圖1知此時△ABC的等分積周線為邊AC上的中線.

1.2 情形2

當b

b(a-b)≤0，

當b>a時，

或

1.3 情形3

由等腰三角形的對稱性，仿情形1類似可得△ABC的等分積周線.綜上所述，有：

定理1設△ABC為等腰三角形，且|BC|=a,|CA|=b,|AB|=c，不妨設b=c，則底邊BC上的中線為△ABC的一條等分積周線，且

2 非等腰三角形

2.1 情形1

或

2.2 情形2

2.3 情形3

綜上所述，可得：

定理2設△ABC為非等腰三角形，且|BC|=a,|CA|=b,|AB|=c，不妨設a>b>c，則△ABC有一條等分積周線,且

至此，利用方程(1)～(3)的根給出了三角形的所有等分積周線.

參 考 文 獻

[1] 朱宸材.中考“等分積周線”問題淺析[J].中學數(shù)學雜志,2012(12):40-41.

[2] 王波,游光偉.用幾何畫板軟件探討三角形等截線問題[J].信息技術,2013(4):187-188,191.

[3] 陳咸存.等分三角形面積的直線的可視化探究[J].中學教研(數(shù)學),2015(5):27-28.