以隱形圓為背景編擬問題的新視角*

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(大廠高級中學,江蘇 南京 210044)

文獻[1]介紹了以阿波羅尼斯圓為背景編擬試題的新方法.在這些問題中，阿氏圓是隱形的，解題中需通過求軌跡將圓化隱為顯，再研究它的幾何性質(zhì).“隱形”“求軌跡”是求解的關(guān)鍵詞，也是編擬試題的兩種手段.如何將圓在題面中“隱藏”起來，除阿氏圓外，不外乎圓的軌跡定義，即平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓，編擬試題時將“定點”和“定長”用其他幾何關(guān)系或數(shù)量關(guān)系來描述.這類試題題面新穎，解法基本且多樣，能較好地考查學生對基本概念的理解能力，審題、轉(zhuǎn)化和解決問題的能力.本文介紹這方面的新穎試題，以饋讀者.

視角1化隱為顯軌跡圓.

設(shè)計方法將隱形圓包裝在一個數(shù)量關(guān)系等式中，通過“建(系)設(shè)(點)限(制條件)代(入)化(簡)”，求出關(guān)鍵點的軌跡方程即圓的方程.

圖1

m2+h2=3.

設(shè)P(x，y)，由PB2+PC2=3，得

又3PA2=3，即PA=1，點P在以點A為圓心、1為半徑的圓上.因此，

設(shè)△ABC的面積為S，則

圖2

例2如圖2，在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-4，0)，B(0，4)，從直線AB上一點P向圓x2+y2=4引兩條切線PC，PD，切點分別為C，D.記線段CD的中點為M，求線段AM長的最大值.

直線AB的方程為y=x+4，點P在AB上，從而

即y-x=4λ.

(1)

由于Rt△COP∽Rt△MOC，于是

CO2=OM·OP，

即

亦即x2+y2=4λ.

(2)

由式(1)和式(2)，得

x2+y2=y-x，

即

評注事實上，不難將例2一般化，只要直線AB與⊙O相離，點M的軌跡都是圓；而當直線AB與⊙O相交時，只要點P還在⊙O外，點M仍然在一段圓弧上.本題的核心是求出點M的軌跡，剩下的事就簡單了.

視角2相關(guān)點求伴隨圓.

設(shè)計方法點A在已知⊙C上，點B是點A的相關(guān)點，當點A變化時，點B的軌跡若是圓(記為⊙D)，則稱⊙D為⊙C的伴隨圓.通常從點A到點B用幾何變換實現(xiàn)，如平移、對稱、伸縮等.

因為點Q在圓x2+(y-1)2=1上，即

所以

即

x2+(y-3)2=9，

因此點P的軌跡是以C(0，3)為圓心、半徑為3的圓.

評注點Q在已知圓上運動，隨之變化的點P的軌跡也是圓，用“相關(guān)點法”求點P的軌跡方程，再研究這個圓與已知直線的關(guān)系.顯然，本題也可以由點P求點Q的軌跡(伴隨直線)，再研究該伴隨直線與已知圓的關(guān)系.

分析設(shè)線段AB的中點為M，則CM⊥AB.在Rt△CAM中，

(x+4)2+(y-a)2=5.

因為M是線段AB的中點，所以

即

設(shè)M(x,y),P(x0,y0),則

從而

于是點M(x,y)在圓(x+4)2+(y-a)2=5上，因此

解得

a=2或a=-18.

視角3張角為定也是圓.

設(shè)計方法與某線段所張的角為定角的頂點軌跡是圓(弧).特別地，張角為直角時軌跡是圓，且該線段為圓的直徑.某些條件隱含定角，只需根據(jù)定角，挖出圓(弧)，再進一步轉(zhuǎn)化位置關(guān)系.

分析線段AB的中點為M，則OM⊥AB.在Rt△OAM中，

從而點M在圓心為O、半徑為2的圓上，其軌跡方程為

x2+y2=4.

又以CD為直徑的⊙E方程為

當點A，B在⊙O上運動時，即點M在圓x2+y2=4上運動時，始終有∠CMD為銳角，即點M始終在⊙E外，從而圓x2+y2=4與⊙E相離，即

OE>1+2=3，

亦即

解得a<-2或a>0.故實數(shù)a的取值范圍是(-∞，-2)∪(0，+∞).

評注這里有兩個隱形圓:一是點M的軌跡，由于⊙O及其弦長AB為確定的，從而弦中點M的軌跡是⊙O的同心圓；二是“∠CMD為銳角”的等價條件“M在以CD為直徑的圓外”，將幾何條件轉(zhuǎn)化為兩個隱形圓的位置關(guān)系.

視角4類似比值阿氏圓.

阿氏圓模型的特征是距離之比為常數(shù)，那么距離的平方之比為常數(shù)呢？顯然，本質(zhì)是一樣的.請看下面一道改編的應(yīng)用題.

圖3

2)若要使與商場B相距2 km以內(nèi)的區(qū)域(含邊界)均為商場B相對于A的“更強吸引區(qū)域”，求λ的取值范圍.

分析設(shè)商場A,B的面積分別為S1,S2，點P到A,B的距離分別為d1,d2，則

其中k為常數(shù)，k>0.以AB所在直線為x軸、A為原點建立如圖3所示的平面直角坐標系，則A(0，0)，B(10，0).設(shè)P(x，y),

即

從而

化簡得

此即商場B相對于A的“更強吸引區(qū)域”.

所以點P不在商場B相對于A的“更強吸引區(qū)域”.

2)由m1

將S2=λS1代入，得

從而

(x-10)2+y2<λ(x2+y2),

化簡得 (1-λ)x2+(1-λ)y2-20x+100<0.

因為0<λ<1，配方得

與商場B相距2 km以內(nèi)的區(qū)域(含邊界)是：圓心為B(10，0)、半徑為r2=2的圓的內(nèi)部及圓周. 由題設(shè)，⊙B內(nèi)含于⊙C，即BC<|r1-r2|. 因為0<λ<1，所以

整理得

圓是高考的重點也是熱點內(nèi)容之一，反復考查，在形式上逐年推陳出新.除了熟悉的阿波羅尼斯圓外，本文介紹了在命題中常用的幾種把圓隱藏在題面中的方法.像這樣來源于數(shù)學史、數(shù)學定義的題型是我們?nèi)≈唤叩膶殠欤粼谄綍r的教學中教師能夠較多地進行滲透，不斷地變換視角、改編挖掘，則將更有利于提高習題的教學質(zhì)量，培養(yǎng)學生的數(shù)學學習興趣，促進學生創(chuàng)造思維的發(fā)展.

參 考 文 獻

[1] 余建國.以阿氏圓為背景編擬問題的新視角[J].中學教研(數(shù)學)，2015(7):16-18.