一道動態立體幾何問題解決的7個視角與思考*

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(仙居中學,浙江 仙居 317300)

題目如圖1，在三棱錐A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC與△BCD均為等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°,BC=2,點P是線段AB上的動點，若線段CD上存在點Q，使得異面直線PQ與AC成30°角，則線段PA長度的取值范圍是______.

(2017年2月浙江省溫州市數學高考模擬試題第8題)

圖1 圖2

視角1從定義出發，探尋自然的解題方法.

設AP=x，CQ=y(其中0

從而

由余弦定理得

EQ2=PQ2+PE2-2PE·PQcos 30°，

化簡得

于是

視角2從坐標出發，探尋動點的本質聯系.

圖3

因為異面直線PQ與AC成30°角，所以

化簡得

由0≤q≤2，知

視角3從向量出發，突破空間的條件限制.

化簡得

即

故

聯結CP，則在Rt△PCQ中，

又在Rt△PAC中，

得

即

視角4從極限出發，探尋動點的變化趨勢.

圖4

視角5從射影出發，借助三余弦定理探求角之間的聯系.

圖5

解法6由題意可知CD⊥面ABC,故轉換視角重新作圖(如圖5).聯結CP，則∠CPQ即為直線PQ與底面ABC所成的線面角，記作θ.設異面直線PQ與AC所成的角為θ1，直線PQ在底面的射影PC與直線AC所成的角為θ2，即θ2=∠ACP，則由三余弦定理可得

cosθ1=cosθ·cosθ2，

從而θ1≥θ2.又θ1=30°，則

θ2≤30°，

從而

于是

圖6

評注本題換個角度轉化成三棱錐D-ABC，容易看出直線PQ在底面的射影為直線CP，由三余弦定理得直線PQ與AC所成的角θ1大于等于其射影CP與直線AC所成的角θ2，從而把條件中的等量關系θ1=30°轉化為不等關系θ2≤30°，由此得出AP的范圍.空間中點、線、面的位置關系，通過它在平面上的射影揭示出它們之間的內在規律，這是一種重要的研究事物的思想方法.在動態立體幾何問題中，選擇恰當的投影面，很多時候可以把空間中運動的量轉化為投影面上靜止的量，把空間中混沌的關系轉化為其射影明確的關系.

視角6從軌跡出發，探尋解析幾何與立體幾何的交匯.

圖7

評注雙動點問題中固定其中的一個動點，讓另一個點先動起來是常見的一種想法.本題中，固定點P后，把點Q的運動轉化為直線PQ繞著軸PE旋轉，得到一個圓錐曲面，由平面BCD去截這個圓錐，從而得到點Q的一個運動軌跡為橢圓，再由直線CD與橢圓相交確定點Q.在動態立體幾何中，很多問題往往需要結合解析幾何中曲線的定義，通過構造圓錐模型來確定動點的位置及運動軌跡，這樣容易發現隱含的幾何性質，更有利于找到最值點和臨界點，從而使解題過程得到優化[2].

視角7從整體出發，探尋問題的幾何本質.

解法8在圖5基礎上，將直三棱柱補形成長方體ABFC-A1B1F1D(如圖7)，過點P作PG∥AC交BC于點E，交CF于點G，則PG⊥面CFF1D，且∠QPG即為異面直線PQ與AC所成的角.在Rt△PGQ中,

得

在Rt△QCG中,

即

評注在立體幾何中，一種常見的補形是將錐體補形成柱體，將三棱柱補形成長方體或正方體，將局部的圖形補形成一個整體，從整體出發探究動點運動變化中的不變量.本題中，從三棱錐這一局部角度看，PE和QE是兩條變化的線段，∠QPG=30°這一條件得不到一個明確的結論，而從長方體這一整體角度分析，由∠QPG=30°知線段PG,QG的長度是定值，因此本題的幾何本質是PQ在面CFF1D上的投影長為定值，問題馬上得到解決.從整體角度看問題，胸有全局，眼界更寬廣一點，思維更開闊一點，解法就更簡單一點.

“動態”充滿著神奇，孕育著創造.動態立體幾何問題情景新穎、解法靈活、極富有思考性和挑戰性，能更好地考查學生的空間想象能力和思維能力[3].對動態立體幾何問題要多作解題研究，要善于從各個不同的視角出發加以分析，既要從數的角度來關注運動變化過程中變量的本質變化與變量間的聯系，也要從形的角度來關注運動變化過程中動點的運動軌跡與不變的幾何關系，還要從極限或整體的視角出發思考，從而使問題得到靈活的解決.

參 考 文 獻

[1] 袁方程，黃俊峰.解決立體幾何中“動態問題”的常用策略[J].河北理科教學研究，2012(6)：6-9.

[2] 吉俊杰.“空間運動”與“圓錐”的“不解之緣”——由2016年浙江高考談“動態”立體幾何教學建議[J].中學數學，2016(11)：81-83.

[3] 馬茂年，吳曉明.動態幾何 策略引領 理性探索——例說立體幾何“動態”題型解題策略[J].中學教研(數學)，2014(2)：1-4.