變化中的不變量*
——談立體幾何中的折疊問(wèn)題

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(浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)，浙江 金華 321004)

在近幾年數(shù)學(xué)高考的立體幾何題中經(jīng)常出現(xiàn)折疊問(wèn)題，由于其涉及平面圖形和空間圖形，因此對(duì)學(xué)生的空間想象、識(shí)圖及分析能力都提出了較高要求.在考試中此類(lèi)問(wèn)題得分率都不高，分析其原因，首先是學(xué)生的空間想象力較弱，其次是學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題沒(méi)有形成解題的模型和方法.

解決折疊問(wèn)題的關(guān)鍵在于畫(huà)好折疊前后的平面圖形與立體圖形,抓住兩個(gè)圖形的特征關(guān)系，并弄清折疊前后哪些量發(fā)生了變化、哪些量沒(méi)有發(fā)生變化，以及確定動(dòng)點(diǎn)在底面上的投影位置，這是分析和解決問(wèn)題的依據(jù).

教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中處理折疊問(wèn)題的兩大策略：1)引導(dǎo)學(xué)生用草稿紙演示折疊過(guò)程，注意折疊前后的不變量；2)利用數(shù)學(xué)軟件動(dòng)畫(huà)演示折疊過(guò)程.讓學(xué)生形象直觀地得出折疊問(wèn)題的3個(gè)特征如下：

圖1

如圖1，將△DAE沿AE折成△D′AE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE交AE于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)F，則

①點(diǎn)D′在底面ABCE上的投影O一定在射線DF上；

②D′H⊥AE,FH⊥AE,∠D′HF是二面角D′-AE-B的平面角；

③折疊后的不變量：在折線同側(cè)的量，折疊前后不變，如D′A=DA,D′E=DE.

筆者通過(guò)一些實(shí)例，對(duì)立體幾何中的折疊問(wèn)題的解題策略作歸納，供大家參考.

1 利用折疊前后的不變量的特征解題

圖2

1)求二面角A′-FD-C的余弦值；

2)點(diǎn)M,N分別在線段FD,BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)A′重合，求線段FM的長(zhǎng).

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

分析1)略.

2)建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)FM=x，則M(4+x,0,0).翻折后，點(diǎn)C與點(diǎn)A′重合，從而CM=A′M(折疊前后的不變量)，于是

得

即

評(píng)注本題是一個(gè)兩次折疊問(wèn)題，經(jīng)歷的是一個(gè)由動(dòng)態(tài)到靜態(tài)的過(guò)程.要解決此類(lèi)問(wèn)題，首先要清楚地知道折疊前后哪些量產(chǎn)生了變化、哪些量沒(méi)有變化.第2)小題學(xué)生的得分率較低，究其原因是學(xué)生往往將目光聚焦在第二次翻折后的空間幾何圖，而忽視了該空間圖與原平面圖之間聯(lián)系，即翻折前后CM長(zhǎng)度的不變性.求解這類(lèi)問(wèn)題要注意對(duì)變化前后線線與線面位置關(guān)系、所成角及距離等加以區(qū)別比較，在“變”與“不變”之間靈活解題.

例2如圖3，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=4，點(diǎn)E,F分別在AD,BC上，且AE=1，BF=3，將四邊形AEFB沿EF折起，使點(diǎn)B在平面CDEF上的射影H在直線DE上.

1)求證:CD⊥BE;

2)求線段BH的長(zhǎng)度；

3)求直線AF與平面EFCD所成角的正弦值.

(2016年浙江省金華十校調(diào)研數(shù)學(xué)試題第17題)

圖3

1),3)略.

2)解法1設(shè)BH=h,EH=k，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥ED于點(diǎn)G.因?yàn)榫€段BE，BF在翻折過(guò)程中長(zhǎng)度不變，根據(jù)勾股定理得

即

圖4

解得

于是B(0,1,2)，故線段BH的長(zhǎng)度為2.

評(píng)注本題是筆者參與命題的一道高三期末試題.第2)小題學(xué)生的得分率很低，究其原因是沒(méi)有抓住問(wèn)題的本質(zhì)——線段BE，BF在翻折過(guò)程中長(zhǎng)度不變.

2 利用折疊后動(dòng)點(diǎn)投影的特征解題

例3如圖5，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD′⊥平面ABC，在平面ABD′內(nèi)過(guò)點(diǎn)D′作D′K⊥AB，K為垂足.設(shè)AK=t，則t的取值范圍是______.

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

圖5

圖6 圖7

評(píng)注本題是2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題填空題的最后一題，學(xué)生的得分率很低.若能抓住折疊后動(dòng)點(diǎn)D′在底面上的投影特征，問(wèn)題本質(zhì)就是由折疊引起的二面角D′-AF-B的平面角∠D′HK的變化，再利用兩個(gè)極端值，得到結(jié)果.

( )

A.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直

B.存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直

C.存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直

D.對(duì)任意位置，3對(duì)直線“AC與BD”“AB與CD”“AD與BC”均不垂直

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題)

當(dāng)AC=1時(shí)，直線AB與直線CD垂直.故選B.

3 利用折疊問(wèn)題的三大特征解題

例5(原創(chuàng)題)如圖8，已知邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，E是邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起至△A′DE(如圖9)，若△A′CD為正三角形，則二面角A′-CD-B的大小是______.

圖8 圖9

分析如圖10，在正方形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，交DE于點(diǎn)H,交BC于點(diǎn)F.取CD的中點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)EG交AF于點(diǎn)O，按題意折疊后的圖形如圖11所示，可知點(diǎn)A′在底面BCDE上的投影在AF上.又因?yàn)椤鰽′CD為正三角形，所以點(diǎn)A′在底面BCDE上的投影也在EG上，從而點(diǎn)A′在底面BCDE上的投影是AF與EG的交點(diǎn)O.聯(lián)結(jié)A′G,因?yàn)锳′G⊥CD，OG⊥CD,所以∠A′GO就是二面角A′-CD-B的平面角.

故

∠A′GO=30°.

圖10 圖11

評(píng)注本題的關(guān)鍵是要確定點(diǎn)A′在底面BCDE上的投影O的位置.根據(jù)折疊問(wèn)題的3個(gè)特征知點(diǎn)O一定在射線OF上，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)O也在EG上，因此點(diǎn)O是AF與EG的交點(diǎn).

折疊問(wèn)題看似變化多端,實(shí)則有規(guī)律可循.一般情況下，在折線同側(cè)的量，折疊前后不變；“跨過(guò)”折線的量，折疊前后可能會(huì)發(fā)生變化，這是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.

本文選取的5個(gè)例題都是壓軸題，難度較大.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師若能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)折疊前后圖形的元素進(jìn)行分析，抓住這個(gè)動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中不變的量,如垂直關(guān)系、平行關(guān)系、長(zhǎng)度關(guān)系等,充分利用折疊問(wèn)題的3個(gè)特征，抓住折疊問(wèn)題的解題關(guān)鍵,問(wèn)題就迎刃而解了.