補形法在競賽、自主招生、高考中的應用*

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(學軍中學,浙江 杭州 310012)

2018年浙江省數學競賽剛落下帷幕就引發了很多的討論.大多數人都認為此次的試題比較容易，甚至比2017年的還要容易些.筆者有幸參與了此次競賽的閱卷工作，在結算總分的過程中，高分一個接一個地冒出來，這也從側面說明了此次試題的難度不大.在這15個試題中，筆者對第10題情有獨鐘.

圖1

解因為3組對棱都相等，所以考慮將四面體放入到長方體中(如圖1).假設長方體的長、寬、高分別為x,y,z，則

由于四面體的外接球即為長方體的外接球，因此外接球的半徑為

考后筆者詢問了幾個學生，想法也如出一轍，都將四面體放入了長方體.此解法用的是補形思想，即把四面體補成一個長方體.“補”和“割”都是數學中的重要思想，本文主要介紹補形思想在競賽、自主招生以及高考中的一些簡單應用.

1 補形法在競賽中的應用

例2在四面體ABCD中，已知∠ADB=∠CDB=∠ADC=60°，AD=BD=3，CD=2，則四面體ABCD的外接球半徑是______.

(2011年全國高中數學聯賽試題第6題)

圖2

解得

故外接圓半徑為

這兩個競賽試題的共同點是通過適當的補形，將四面體放入長方體中，然后再加以解決.長方體，這個在小學階段就已經接觸到并非常熟悉的幾何體，在高中階段的立體幾何中繼續發揮著它巨大的作用.眾所周知，在求正四面體(或一些特殊四面體)的體積、外接球半徑時，我們都可以把該四面體放入長方體中來解決.那么哪些幾何體能放入到長方體中呢？首先正四面體顯然可以放入長方體中，那么任意一個3組對棱兩兩相等的四面體能否放入到長方體中呢？

圖3

結論13組對棱分別相等的四面體能放入長方體.

證明若四面體ABDE能放入一個長、寬、高分別是a,b,c的長方體中，則放入后的位置如圖3所示.不妨設AC=a,CE=b,CD=c，則

2c2=m2+n2-s2,

2b2=s2+n2-m2,

2a2=m2+s2-n2，

從而只需證明m2+n2>s2，即只需證明∠ADE是銳角.易知∠BED=∠ADE,∠BEA=∠DAE，于是

∠BED+ ∠DEA+∠BEA=π>2∠BED=2∠ADE,

故存在a,b,c滿足條件，即結論1成立.

此外還有一些比較規則的四面體也可以放入到長方體當中，如有一個頂點處是“墻角”的四面體，還有4個面都是直角三角形的四面體等等.

在這些四面體中，有一些保留了長方體的部分特點，容易讓人聯想到它們和長方體的關系，從而使問題迎刃而解；也有一些幾何體，即使保留了長方體的部分特點，但是它與長方體之間的關系不容易被看出；還有一些幾何體，長方體的大部分特點都被割去，這給我們解決問題帶來了一定的困難.因此，筆者認為，這才是命題者的命題思想和命題背景.筆者順著此命題思路，給出了兩個變式.

圖4

變式2在正四面體ABCD中，已知∠ADB=∠CDB=∠ADC=60°,AD=3,BD=1,CD=2,則四面體ABCD的外接球半徑是______.

點評在變式2中△ABC不是正三角形，傳統的方法不能奏效，但是補形的思想仍然可以使用.

相比例1和例2，這兩個變式更能反映出補形思想的妙處.盡管這一類題目有一些難度，但是卻受到了各大高校自主招生的青睞.

2 補形法在自主招生中的應用

圖5 圖6

(2005年上海交通大學自主招生試題)

圖7

點評該試題中的幾何體保留了長方體的部分特點，但是不容易發現，可一旦發現之后，問題就很簡單.此題若采用傳統的方法求解，則要耗費不少精力，另外還需要比較強的空間想象能力和計算能力.但若考慮幾何體與正方體之間的聯系，則可以簡化計算，達到事半功倍的效果.

3 補形法在高考中的應用

除了競賽和自主招生外，補形法在高考中也有著一定的地位，例如2014年全國數學高考卷Ⅰ理科第12題，試題中的四面體割去了正方體的大部分特點，只留下了一些蛛絲馬跡，若不利用正方體，要想象出幾何體，會有一定的難度.

例4如圖8，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為

( )

圖8 圖9

解由三視圖可以判斷，該幾何體為四面體，且可以放入長方體中.設該四面體為A-BCD，則放入邊長為4的立方體中的位置如圖9所示.易知答案選B.

類似這樣的補形思想，高考試題中還有很多,如：

例5已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為

( )

(2017年全國數學高考新課標卷Ⅱ理科試題第10題)

圖10

解對直三棱柱ABC-A1B1C1進行補形,補成一個直四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖10)，易知答案選C.

例5是將三棱柱補成了一個平行六面體，再如例6將幾何體補成了一個三棱錐，從而降低解題的難度.

例6如圖11,在三棱臺ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

1)求證：BF⊥平面ACFD；

2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

(2016年浙江省數學高考理科試題第17題)

圖11 圖12

1)證明延長AD，BE，CF交于一點R(如圖12).易證△BCR是正三角形，且F為中點，從而BF⊥CR.因為平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，所以BF⊥CA，故BF⊥平面ACFD.

其他可以用補形法解決的高考試題還有很多，如2014年安徽省數學高考理科試題第20題、2017年全國數學高考新課標卷Ⅱ理科試題第19題.

4 感悟

補形作為一種基本的數學思想，無論是在競賽、自主招生還是在高考中都是非常重要的，在平時的教學中都應有所提及.但是現實中，筆者發現很少有教師提到補形的思想，或者只在講解類似的題目時，才會提及補形的思想.“割”和“補”是相對的兩種手段，出題的時候用了“割”，做題的時候就用“補”，這就是補形.如果把補形后的幾何體看作是“整體”，那么補形前的幾何體就是“局部”，因此補形是一種站在“整體”的角度用俯視的眼光去解決“局部”問題的思想.

筆者認為能夠用補形法來解決的問題，大致可以分為3類:1)幾何體較為規則的且計算不麻煩，如例4和例5.此類幾何體，不用補形法也可以計算，用補形法會更直接.2)幾何體較為規則，但是不容易計算，如例1和例6.此類幾何體因外形較規則，會讓學生忘了用補形，是3類情況中相對比較難的一類，也是需要強調的一類.3)幾何體不規則，如例2和例3，想到補形比較自然.

在用補形法解決問題時，大致可分為兩步：首先，要找到合適的“整體”，即要找到被割之前的幾何體，這應該是解答過程中最難的一點.有時候“整體”可以是長方體本身，也可以是那些可以放入到長方體中的特殊幾何體，比如正四面體.當然還可以是其他的，比如棱臺的“整體”可以是棱錐，再如四棱錐的“整體”可以是三棱錐.若有多個“整體”可以選擇時，只需要選擇一個方便計算的“整體”就可以了.在還原“整體”時，本文前面所闡述的幾種類型的幾何體都可以作為參考.然后，將幾何體放入到“整體”中，根據幾何體和“整體”的關系，求出所要求的結果.

總之，要用好補形思想，就必須清楚特殊幾何體可能出現的各種“局部”問題，只有這樣才能發揮補形思想的最大作用.