指向核心素養的教學設計與實施*
——由高三“線面垂直”復習課談起

●

(嘉興市第一中學,浙江 嘉興 334000)

數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的，包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象和數據分析[1].在數學學習中，應如何培養這些核心素養呢？

1 對高三教學現狀的思考

當下，高三數學復習課普遍的做法是“定義+辨析”“題型+方法”，對學生進行機械、重復的訓練，教學變成了“刷題”，失去了它應有的本真.到頭來學生一遇到情境新穎的問題還是一籌莫展，思維品質、應用知識解決實際問題的能力低下.這與《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱“新課標”)倡導的數學核心素養的培養是背道而馳的.作為高三數學教師的筆者一直在思考：高三究竟要怎么教，才能讓學生從膚淺的知識堆積學習上升到深層能力與品格的養成，不做或少做“無用功”？適逢學校公開展示周，筆者講授了一節公開課——“線面垂直”復習，把自己對數學核心素養的思考滲透在教學設計之中.磨課的過程，加深了筆者對數學核心素養的理解，也是筆者對這個看似“高大上”的概念所進行的“接地氣”的實踐.

2 聚焦核心素養，提高復習課的價值

數學教學不僅要追求有效，更要追求價值，這個價值就是學生的數學素養，這是數學學科育人的根本.

2.1 做好課題分析，明確核心素養目標

教學是一種有目的、有計劃的活動.學習目標是課堂教學過程中，學生一切學習活動的出發點和落腳點.它是教學的靈魂，是學習的質量標準，引領著教學的全過程，也決定評價任務的設計和教學方法的選擇[2].因此，設計教案的第一步要設計好教學目標，并且要充分關注數學核心素養的達成.由于數學核心素養是在學習過程中形成的，因此它不能脫離內容與過程.不同的學習主題對核心素養的培養有所側重[3].“立體幾何”內容側重發展學生的哪些核心素養呢？從圖形角度，它適合發展直觀想象素養；從幾何證明的角度，它有利于培養邏輯推理和數學運算素養；從定理應用的角度，它又適合培養數學建模和數學抽象素養.因為立體幾何的定理，本質上講就是一個空間圖形的模型，定理應用就是要從實際問題情境中抽象或分離出符合定理的空間圖形模型，然后用定理去加以解決.因此，筆者就“線面垂直”這節復習課的內容確立了以下3個培養目標：

1)樹立數學定理即數學模型的意識，能從實際問題情境中找到符合定理模型的基本元素，從而解決問題，培養數學建模素養；

2)理解定理模型的圖形語言，能夠在實際問題情境中抽象出與定理模型對應的基本圖形，并運用定理加以解決，發展數學抽象和直觀想象能力；

3)通過數學運算或邏輯證明的方法，在解決實際問題的過程中，提升邏輯推理與數學運算素養.

2.2 抓住3條主線，達成核心素養目標

“四基”是培養學生數學學科核心素養的沃土，是發展學生數學學科核心素養的有效載體.教學中要引導學生理解基礎知識，掌握基本技能，感悟數學基本思想，積累數學基本活動經驗，促進學生數學學科核心素養的不斷提升[1].

2.2.1 知識線：利用概念圖織點為網，構建知識整體框架

幫助學生建構知識的概念圖，形成整體的知識框架，進而促進核心素養的形成.本節課的核心知識包括線面垂直的定義、判定、性質及其應用.

所謂溫故而知新，學生進行一輪復習，不僅是將原來學習過的知識溫習一遍，更重要的是要能夠將這些知識之間的關聯整理清楚，形成知識網絡，并能在實際問題中自如地加以應用.因此，與學生一起建構知識概念圖(如圖1)是很好的路徑.

圖1

整理概念圖的過程中，注意自然語言、符號語言和圖形語言并舉，讓學生進一步體會這3種語言各自的特點.一般情況下，在理解題意的階段需要把題目中給出的自然語言或者是符號語言“翻譯”成圖形語言，然后通過圖形語言來分析題目的條件，建立已知與未知的關聯，圖形語言更有助于發現實際圖形中可作為定理模型使用的基本圖形.當頭腦中已經建立起了解決問題的完整思路時，就要通過符號語言或自然語言來表達整個邏輯推理過程.以上建構知識概念圖，將數學的3種語言融匯成了一體，加深了學生的理解和記憶，方便學生應用時進行知識提取.

2.2.2 思想方法線：樹立“模型”意識，強化“降維”思想

應用定理解立體幾何題，首先要樹立“定理”即“模型”的意識，學會從復雜圖形中分離出定理“模型”.要證明線面、面面垂直，常常需要通過“降維”處理.

例如，要求學生在圖形中找出互相垂直的直線和平面，筆者設計了以下例題.

例1如圖2，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,點E是PC的中點.你還能發現哪些線面垂直關系?

圖2 圖3

設計意圖從較為簡單的判斷垂直關系入手，把學生容易處理的問題作為思維切入點.例1中的幾何體也是例2圖形的基礎，通過例1為下面例2中垂直關系的進一步研究作好鋪墊.

例2如圖3，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E是PC的中點，EF⊥PB，垂足為F，聯結DE,DF,BD,BE.

1)求證：PB⊥平面DEF；

2)試判斷：四面體BDEF中有幾個面是直角三角形，并指出其中的直角；

3)設M,N分別為AD,PB的中點，聯結MN，MC，NC，求證：平面CMN⊥平面PBC.

設計意圖例2的3個小題分別是對線面垂直、線線垂直、面面垂直的判斷或證明，讓學生進一步掌握線面垂直的判定和性質定理模型及其應用.

2.2.3 文化線：滲透中華文化，增強民族精神

在例2中有兩個幾何體我國很早就有研究，而且它們還擁有自己的名字：一個是底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐，它的名字叫“陽馬”；另一個是四個面都為直角三角形的四面體叫“鱉臑”.

關于“陽馬”和“鱉臑”，《九章算術·商功》里是這樣描述的：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.”

圖4

陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂，取一個長方體，沿它的一個對角面一剖為二，如圖4所示，得到兩個一模一樣的三棱柱，稱為塹堵.

再沿塹堵的一個頂點與其對棱所構成的平面剖開，如圖5所示，得到一個四棱錐和一個三棱錐.以矩形為底，并有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬.余下的三棱錐四面都是直角三角形，稱為鱉臑.

圖5

通過“鱉臑”的引入，了解我國古代對立體圖形的研究方向和方法，體會古代數學家對人類的貢獻.下面引入兩道相關的高考試題，感受幾何體“鱉臑”在現今學習垂直關系時的意義和價值.

例3如圖6，在陽馬P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點E，作EF⊥PB交PB于點F，聯結DE,DF,BD,BE.

1)證明：PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑?若是，寫出其每個面的直角(只需寫出結論)；若不是，說明理由.

(2015年湖北省數學高考理科試題第19題)

圖6 圖7

(2008年浙江省數學高考理科試題第14題)

分析了解了“鱉臑”的由來，即可知幾何體“鱉臑”的外接球就是對應長方體的外接球，外接球O的半徑為長方體體對角線長的一半，體積也就容易求得了.

3 將評價作為教學的一個環節，實現“教—學—評”一致性

3.1 為什么要將評價作為教學決策的依據

評價是一種基于證據的推理，沒有評價的教學是一種無目標的教學[2].泰勒指出：“因為評價涉及學生行為變化的證據，所以，獲得任何有關教學目標所期望的行為的有效證據，都是一種合適的評價.”[3]因此，如果在課堂中就能夠及時獲得學生對教學目標達成情況的反饋，教師就不再憑感覺來猜測學生是否會了，而是能更準確地作出判斷，更靈活地調整自己的教學行為，保證課堂教學的有效性.

3.2 依據目標設置評價任務，實施目標導向的教與學

所謂評價任務，是指檢測學生的學習目標達成情況而設計的檢測項目，包括：紙筆測試、師生問答、展示表演、實驗或者調查報告、小論文等，可以當堂實施，也可以通過課后作業等方式進行.根據本節課的學習內容和目標，筆者設置了幾個當堂評價任務.這樣可以最快得到反饋，課內主要的問題當堂解決，最大程度地保證高三復習的效度.

學生本節課的學習目標有4個：

1)理解線面垂直的定義，總結線面垂直的判定方法和性質，形成系統的知識結構；

2)樹立數學定理即數學模型的意識，能從實際問題情境中找到符合定理模型的基本元素，從而解決問題，提高數學建模和直觀想象素養；

3)通過應用定理解決實際問題，進一步強調等價轉換和“降維”思想，體會數學定理作為一種基本模型的應用價值，提高邏輯推理素養；

4)通過“鱉臑”的引入，了解我國古代對立體圖形的研究方向和方式，體會古代數學家對人類的貢獻.

針對目標1)和目標2)，在整理完概念圖后，筆者設計了一個評價任務“在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,點E是PC的中點.你還能發現哪些線面垂直關系”，以此來檢測學生對線面垂直的判定方法的掌握情況，以及對定理模型的識別能力和對定理的應用能力.

針對目標2)，筆者在例2第2)小題之后設計了一個評價任務“我們要如何畫出一個四面皆為直角三角形的四面體”，此題需要構造，相比識別、證明來講，對學生要求更高，通過學生的回答判斷學生對幾個定理模型的掌握情況、直觀想象能力.

針對目標3)，筆者設計了例2的第3)小題，這是一個紙筆測試任務，由學生獨立完成，以此可以評價學生對定理模型要素的把握、“降維”思想的運用以及邏輯推理能力.

針對目標4)，筆者展示了浙江省數學高考試題，并設置問答任務“由《九章算術》中幾何體‘鱉臑’的來歷，你能解決這道高考題嗎”.通過此題的解決，使學生感受“鱉臑”幾何體在現今學習垂直關系時仍時常作為考查的載體，體會數學的文化價值.

這堂課，筆者從數學內容的本質出發，將知識線、思想方法線、文化線并舉，貫徹“教—學—評”一致性，嘗試對基于數學核心素養培育的教學實踐.誠然，筆者的嘗試還很膚淺，只求拋磚引玉，但我們不懼改變，且思且行……

參 考 文 獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(2017版)[S].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 盧明，崔允漷.教案的革命：基于課程標準的學歷案[M].上海：華東師范大學出版社，2016.

[3] 盧明.數學教學要既見“樹木”又見“森林”[N].中國教育報，2018-03-07(10).

[4] 泰勒.課程與教學的基本原理[M].施良方,譯.北京：人民教育出版社，1994.