數學文化視角下問題解決式教學*
——“相似三角形應用舉例”教學設計

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(華東師范大學教師教育學院，上海 200062)

●林采露

(樓村小學，廣東 深圳 518107)

近年來數學文化受到越來越多的重視，廣大的一線教師一直在教學中嘗試滲透數學文化，以體現數學精神、思想、方法以及數學的價值.蘊含數學文化的數學課堂給學生呈現的是一個多姿的“數學女王”，而不是一具冰冷的骨架.數學文化教學中問題情境的設計反映學生生活的真實或接近真實性，才能激發學生主動投入問題解決過程中[1].因此，設計具有數學文化的教學，創設真實的問題解決情境，在數學課堂教學中顯得尤為重要.基于此，本文以人教版“相似三角形應用舉例”一課為例，在數學文化視角下進行數學問題解決式的教學設計，以期拋磚引玉，為進一步深入研究提供案例.

1 課題分析

1.1 教學分析

本節“相似三角形應用舉例”課以“數學是有用的”為線索，開展數學問題解決式的教學，讓學生經歷兩次數學問題解決的過程，通過師生互動、現場操作測量、探究和學習相似三角形的應用，使學生充分感受到相似三角形與生活密切聯系.另外，從歷史上看，相似三角形很早就已經被人們所認識，因此該課程內容具有豐富的數學史與數學文化資源[2].本教學設計將HPM滲透其中，讓數學課堂充滿文化氣息，讓數學教學不再平鋪直敘，讓學生開闊眼界、啟發思維、增加興趣.

1.2 教學目標

1)進一步鞏固相似三角形的判定及性質；會用相似三角形解決實際問題.

2)經歷實際問題到建立數學模型的過程，培養數學建模能力、抽象概括能力以及分析解決問題的能力.

3)通過問題探究等教學活動，養成動手探究和動腦思考的習慣，培養探究精神，體會“數學來源于生活，更應用于生活”的數學魅力；通過數學史和數學文化的滲透，激發對數學學習的興趣.

1.3 教學重難點

教學重點：運用相似三角形解決實際問題.

教學難點：如何把實際問題抽象為數學問題.

2 教學過程

2.1 漫步歷史

師：同學們，你們認識泰勒斯嗎？今天我們好好來認識一下這位數學名家.泰勒斯(公元前6世紀)是著名的古希臘“七賢”之一，被譽為希臘幾何學的鼻祖，有人說他是第一個數學家.據說早在2 700多年前泰勒斯僅用竹竿就測量出金字塔的高度，這實在是一件匪夷所思的事啊！大家想知道他是怎么做到的嗎？今天我們就穿越時空跟泰勒斯一起來解決這個問題.

展示金字塔的圖片，簡要講解金字塔的來歷，以豐富而充滿文化氣息的圖片將學生帶入課堂，做好學習新課的準備.

師：一天清晨，國王和泰勒斯在金字塔邊上散步，國王想考考泰勒斯“能不能測出金字塔的高度”，泰勒斯擺弄了一下手中的竹竿，又抬頭看了看天上毒辣的太陽，笑了笑說“當然可以”.他想到了什么方法呢？

設計意圖通過數學史故事的情境創設，引發學生的興趣，激發好奇心和求知欲，滲透了數學史和數學文化，營造了一個有文化的數學課堂氛圍.

2.2 解惑傳道

1)弄清問題.

師：你能夠用老師擺在桌上的道具找到測金字塔高的方法嗎？

教師在學生面前展示金字塔模型、竹竿模型和手電筒，現場模擬歷史情境，引導學生思考，配合PPT的動畫演示，讓學生直觀感知問題，發現相似三角形，從而突破教學難點.

2)制定計劃.

師：在空間中研究這個問題有點復雜，我們不如用簡單的平面幾何圖形將實際情境的各種數量關系表示出來.

圖1

師生共同畫圖(如圖1所示)，再從圖中發現已知量與所要求的目標，通過幾何直觀或者結合已知條件的提示感知到各個量之間的關系，從而發現相似三角形.在此過程中師生共同整理出解決問題的思路.

學生與教師互動討論，大膽猜想，經歷泰勒斯測量金字塔時的思考過程，體驗實際問題一步步數學化的過程.

3)實施計劃與總結提升.

通過已知證明三角形相似，再利用相似比求解出答案.教師嚴格板書，幫助學生整理解題思路.歸納利用相似三角形解決實際問題的一般步驟：①畫圖；②尋找已知與未知；③發現相似三角形；④給予證明并求解.

設計意圖引入的自然與合理是學生解決問題的動力源泉.以金字塔問題作為一道經典例題進行教學，利用現場演示和動畫輔助，使學生直觀發現問題的關鍵，結合啟發式教學讓學生經歷實際問題的數學化過程，體會數形結合的思想方法，提升數學建模與數學抽象的核心素養.

2.3 問題探究

1)創設情境.

師：現在請同學們自己來解決一個實際問題.測量一下這個教室的高是多少？沒辦法實際測量，也沒有陽光和影子可以幫我們，有其他辦法嗎？

2)弄清問題.

師：現在老師手上有一面鏡子，它能否幫助我們測出教室的高度呢？

圖2

教師提出新問題，啟發學生思考，引導學生利用鏡面反射構造兩個相似三角形(如圖2所示).

師：很多同學已經有了初步的解決方案了.下面請同學們在“認知工作單”(基于西蒙數學認知工作單設計)上自主完成問題的解決，如果還有疑問也可以與同桌探討一下.

認知工作單中問題設置大致如下：

轉化問題1)畫圖.你能從實際情境中抽象出簡單的數學圖形嗎？用點線面畫出來試試，記得標上重要頂點的字母.2)尋找已知與未知.看看你畫出來的圖，想一想:哪些量用簡單的測量工具就能測出來呢？請大概估算一下能測出來的量，那么最終所要求的未知量又是什么呢？

解決問題3)發現相似三角形.觀察你所畫的圖形，從幾何直觀上或者從已知條件中，你可以發現______與______似乎是相似的(如果沒法直接看出來那能不能從已知條件中得到什么啟示呢？不行的話，請添加一些輔助線試試).用判定定理______(英語縮寫)就可以證明你上面發現的結論.然后利用相似三角形的性質，可以建立等量關系，通過已知條件得到教室高度.4)給予證明并求解.現在已經獲得解題思路了，趕快動手落實吧！

學生自主在工作單上完成制定計劃和實施計劃的過程,教師巡視并適當提示個別學生進行問題的解決.之后，教師請學生到講臺上分享解決問題的過程.教師利用鏡子和激光筆(利用光路可逆)進行實地演示，學生在黑板上進行實際問題的轉化以及問題的求解.

3)總結提升.

圖3

師：同學們都已經學會自己解決這個實際問題了.其實，解決問題的思路可以有很多，如果沒有鏡子，只有一塊三角板我們也可以完成(如圖3所示)，得到相似三角形，進而解決問題.這種做法類似于中國古代著名數學家商高發明的“矩尺”工具的用法，有興趣的同學可以課后進行了解.中國古人早在周朝就懂得利用相似三角形解決實際問題了！

師：還有什么方法可以求出教室高度呢？留給同學們課后思考，自主探究，如果有好的想法歡迎下節課給大家分享.

設計意圖讓學生在認知工作單和教師的引導下體驗實際問題的數學化過程，鞏固相似三角形知識.同時以兩種不同的測量方案對學生問題解決時思路的多變性進行啟發，培養學生的創新意識.實實在在地實現教與學的互動，使學生真正成為課堂的主人，發揮教師的主導作用和學生的主體作用.

2.4 作業布置

師：這節課我們重返到中國古代，運用相似三角形的知識與泰勒斯一同解決了金字塔的測量難題，而且還自己動手實驗、探究、計算出了教室的高度.我們不僅領略到了古代數學家的智慧，更重要的是體會到了數學的實用價值，數學是有用的.古人就是為了解決生活中這些可望而不可及的測量問題，才發現并創造了相似三角形，進而利用數學知識去解決生活問題，因此我們常說“數學來源于生活，更應用于生活”.數學，可不是呆板的做題工具，而是解決問題的至尊法寶，只要我們善于發現，善于運用，也可以像泰勒斯那樣成為非常機智的人.

1)個人作業.

問題1泰勒斯測量“船何時能到達岸邊”問題：岸邊有一塔，高為37.8 m，他爬上塔頂，手拿1.2 m的桿子平行于地面，調整桿子使視線通過末端恰好可看見遠處的船，而眼睛到桿子的豎直高度為0.2 m，求船到岸的距離.

問題2今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸問井深幾何？

(選自《九章算術》)

問題3今有邑方二百步，各開中門，出東門一十五步有木，問：出南門幾何步而見木？

(選自《九章算術》)

2)小組作業.

任務1地面上點A，B之間有障礙物，如何測量AB的長度呢？

任務2旗桿AB的底部點B不可到達，如何測量AB的高度呢？

任務3如何測量教學樓的高度？請詳細寫出你們的測量方法和原理，并收集和準備測量所需要的工具或素材(可自制測量工具)，下次課將實地進行合作探究.如果可以，請給出盡可能多的測量方案.

設計意圖教師提煉出本節課的知識點，點明本節課的文化性和實用性，讓學生體會數學的文化價值及應用價值.通過布置個人作業，讓學生解決《九章算術》中的問題[3]以及希臘河寬問題，從而發現除了測量高度外，相似三角形也可以解決距離、深度、河寬等其他問題.同時在解決問題過程中感受數學史的活力和數學文化的魅力.通過布置小組作業(兩道開放性作業題及一道實踐題)，讓學生更好地鞏固和運用本節課所學，進一步落實教學目標.

3 設計說明與總結

3.1 設計說明

本教學設計經過3次實踐與多次修改.第一次教學設計僅以數學史作為故事形式通過講述配合圖片的形式展示給學生，發現大部分學生難以理解問題情境.可見初三學生雖具備了初步的應用數學意識，但在心理特點上仍更依賴于直觀形象的認識，因此如何讓學生通過幾何直觀感知更好地解決問題將是一大難點.另外，“問題探究”環節直接將問題及工具拋給學生，缺少腳手架，發現大部分學生難以想到方案1(圖1)或方案2(圖2)，導致探究環節花費了大量的教學時間.

因此，在第二次的教學設計中加入了采用金字塔模型和手電筒等教具進行情境模擬的環節，以幫助學生更好地理解問題情境.考慮到探究環節中的方案1與方案2的獲得不是本節課的重難點，因此調整教學，將方案2作為介紹方案，而方案1采用師生對話的形式共同探討獲得.實踐發現，效果得到很大改善，許多學生能夠理解金字塔問題的提出，但由于教具太小，難以服務到全班學生.“問題探究”環節也取得了突破性進展，學生基本能在認知工作單上根據方案1將實際問題轉化并求解.

基于此，第3次修改中，在引入部分增加了多媒體動畫的演示，利用信息技術輔助教學突破情境引入的難點.另外，課堂時間有限，在探究環節之后，原設計作為課堂練習的3道數學史應用題都難以在課堂上完成.因此第3次修改中將其調整為課后作業，使得課堂有足夠的時間讓學生投入到思考與探究之中.

3.2 總結

本教學設計中的數學文化主要體現在兩個方面：數學的應用價值和數學史.華羅庚曾說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學.”這正是本節課想告訴學生的第一件事——數學是有用的，是可以解決生活問題的，是與生活密切相關的.而數學史向數學課堂的滲透，使原有“見物不見人”的數學課程具有了較為濃厚的人文氣息.學習這樣的課程，學生多視角分析數學問題，體會到數學的意義與價值、數學與科學技術的關系以及數學在人類文明進步和文化發展的貢獻[4].本設計讓學生了解了泰勒斯和商高，求解了古代數學問題，從而體會到古代數學家解決問題的巧妙思維，感受到數學的悠久歷史及其與人類文明的密切關系，這才是學生真正喜歡的數學課.

參 考 文 獻

[1] 徐斌艷.數學課堂教學中學習文化的探析[J].全球教育展望,2004,33(2):44-47.

[2] 汪曉勤.相似三角形的應用:從歷史到課堂[J].中學數學教學參考,2007(18):54-55.

[3] 王進敬,汪曉勤.運用數學史的“相似三角形應用”教學[J].數學教學,2011(8):22-25.

[4] 謝明初.數學史應用于數學教育:發展歷程與研究展望[J].廣東第二師范學院學報,2013,33(5):85-89.