歸納推理 深度學習

翟運勝

【教學內容】

蘇教版四下第96至97頁“多邊形的內角和”。

【教學目標】

1. 使學生通過觀察、操作、計算、推理等方式探索多邊形的內角和，發現多邊形內角和與多邊形邊數之間的關系，抽象概括出計算多邊形內角和的一般方法。

2. 經歷探索和發現規律的過程，積累探索規律的活動經驗，感悟類比、歸納、數形結合、轉化、模型等數學思想，初步形成問題意識、探究意識和創新意識，體驗成功的喜悅，樹立學好數學的信心。

【教學重難點】

引導學生將多邊形轉化成若干個三角形，發現分成的三角形的內角和就是多邊形的內角和，并能用數學模型表示。

【教學過程】

一、特殊到一般，誘發猜想

1. 依次出示一條線段、兩條線段，首尾連接，不能圍成一個封閉圖形，再出示一條線段，引導學生發現至少要有三條線段首尾連接才能圍成一個封閉圖形。

2. 出示一個三角形。

師：三角形有3條邊，有3個角，三角形3個角的度數和叫作三角形的內角和。我們知道三角形的內角和是180°，如果是一個四邊形呢？

3. 出示一個長方形與一個正方形。

師：它們的每個內角都是90°，它們的內角和是90°×4=360°。長方形與正方形是特殊的四邊形，根據這些，你能提出怎樣的猜想呢？

預設：是不是任意一種四邊形的內角和都是360°呢？

設計意圖：這是一節引導學生進行推理歸納提升數學思維的綜合實踐課，在學習本節課之前，學生已經認識了三角形的內角和是180°，了解了多邊形的基本特征。教學中由三角形的內角和以及長方形與正方形的內角和引發對于四邊形內角和的猜想，勾起學生的探究欲望，為后續探究學習做好心理鋪墊。

二、自主探究，建立模型

1. 出示一個四邊形。

師：這是一個一般四邊形，你能自己想辦法求出四邊形的內角和嗎？

教師組織學生在課堂探究單上嘗試畫圖操作。

預設1：從一個頂點引出1條對角線，可以把四邊形分成2個三角形。

預設2：受探究三角形內角和的正遷移，學生可能會把四邊形的四個角撕下來拼在一起。

組織學生比較兩種方法，哪種方法更方便快速。學生選擇畫對角線，可以把四邊形分成2個三角形，引導學生發現這兩個三角形的內角就是四邊形的內角和。

2. 師：五邊形的內角和是多少度？六邊形呢？你能自己想辦法求出它們的內角和嗎？

預設：學生受上述方法的啟發，遷移類推：從一個頂點引出2條（3條）對角線，把五邊形（六邊形）分成3個（4個）三角形。從而推理出五邊形的內角和就是180°×3=540°，六邊形的內角和就是180°×4=720°。

教師同步展示課件。

3. 師：如果邊數再多一些，它的內角和是多少度呢？

引導學生列表探究，把下表填寫完整：如果是七邊形呢？從一個頂點引出幾條對角線呢？分成的三角形個數是多少呢？內角和是多少呢……

學生獨立思考，小組討論后回答結果。

設計意圖：學生要成為學習的主體而不是被動的知識接收器，就得有“活動”的機會，有“親身經歷”（用自己的身體、頭腦和心靈去模擬、簡約地經歷）知識的發現（發明）、形成、發展過程的機會。在這個環節中教師引導學生運用把一個多邊形拆分成若干個三角形的方法依次找到五邊形、六邊形的內角和，然后借助列表推理研究，引導學生從數據中歸納出數學規律，建構數學模型，感悟抽象、推理、建模等數學思想。

三、深入思考，理解實質

1. 師：經歷了這個結論的推導過程，你有什么問題要提出嗎？

預設：為什么多邊形從一個頂點出發，引出對角線的條數是“邊數-3”呢？

預設：以一個六邊形為例，六邊形就是6個頂點，只從一個頂點出發，不能向相鄰的兩個點引出對角線，再去掉自己本身這個點，可以連出（邊數-3）條對角線，這樣就把多邊形分成了（邊數-3+1）個三角形，也就是（邊數-2）個三角形，因此多邊形的內角和就是180°×（邊數-2）。

設計意圖：引導學生反思推導的過程并提出問題，培養問題意識，借助六邊形來說明為什么引出對角線的條數是“邊數-3”，把學生的思維引向深入，思考規律背后的原因。

2. 回想整個規律的得出過程，你有什么收獲？

根據學生的回答總結得出“猜想——驗證——歸納——反思”。

四、深化新知，拓展思維

1. 運用乘法分配律引出多邊形的內角和的另一種表達方式：

多邊形的內角和=180°×（邊數-2）

=180°×邊數-180°×2

=180°×邊數-360°

師：這個推理出來的結論對不對呢？我們可以用一個多邊形來說明問題，你能看圖說一說嗎？（圖1）

預設：這是一個四邊形，在四邊形內任意點上一點，每個頂點與這個點都連起來，這樣就把這個四邊形分成了4個三角形，這4個三角形的內角和就是180°×4，不過在這4個三角形中，有這樣4個角是不屬于多邊形內角和，這4個角合在一起就是360°，所以再去掉360°，也能求出這個多邊形的內角和。

2. 師：多邊形的內角和還可以寫成這種形式，多邊形的內角和=180°×（邊數-1）-180°，你能借助這個五邊形說明這種形式也是正確的嗎？（圖2）

設計意圖：運用乘法分配律，使學生得到公式的另外兩種形式，引導學生數形結合說明這兩種結論的正確性，殊途同歸，培養學生的發散性思維和創新意識，從不同的角度再次驗證結論，開掘思維的深刻性。

五、應用研究，拓展延伸

1. 工人師傅用地磚鋪地，我們會看到形狀為正三角形的地磚（正三邊形），正方形的地磚（正四邊形），正六邊形的地磚，那么有沒有正五邊形的地磚呢？

思考：地磚可不可以是正五邊形的呢？我們現在把幾塊正五邊形鋪在一起，發現沒有鋪滿，這是怎么回事呢？

學生小組討論后回答，預設：原來正五邊形的內角和是180°×（5-2）=540°，正五邊形的每個角的度數都是一樣的，540°÷5=108°，360°-108°×3=36°，還會留下一個36°的缺口。這就是沒有正五邊形地磚的原因。（圖4）

師：正三角形、正方形和正六邊形，為什么可以鋪滿呢？你能自己說一說其中的原因嗎？（圖3）

設計意圖：應用多邊形內角和的結論，解決正五邊形不能密鋪的問題，使學生通過觀察計算驗證，培養應用意識，提升數學核心素養。

（作者單位：江蘇省蘇州工業園區方洲小學 責任編輯：王彬）