《空間向量與立體幾何》中的幾個問題探討

魏西寧

摘 要：提高學生的運算能力絕非一朝一夕之功，需要將這個目標化解在平時的教學過程中，本文就以《空間向量與立體幾何》的教學為例，對如何將“提高學生的運算能力”落實在平時的教學中進行探討。

關鍵詞：空間向量 方向向量 法向量

在《空間向量與立體幾何》中，空間向量的引入為立體幾何問題的處理提供了新的視角。具體來說空間向量的引入為解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具。在這一部分中，首先，學生將在學習平面向量的基礎上，把平面向量及其運算推廣到空間中，其次，學生將學習運用空間向量解決空間點、線、面的位置關系。

學生學習《空間向量與立體幾何》要達到的目標：學會應用空間向量解決立體幾何中的問題，將幾何問題代數化。

要利用空間向量解決立體幾何的相關問題，首先要建立空間向量與空間圖形的對應關系；其次，要能用向量語言表述線、面的平行、垂直關系，夾角運用向量計算的方法；最后，還要找到點、線、面之間距離運用向量計算的方法。

在《空間向量的應用》教學中應注意以下問題：

一、直線的方向向量與平面的法向量的定義及確定

這一部分是空間向量應用最基礎也是最根本的知識，要詳細講解。

1.直線的方向向量的定義：

是空間一直線，A，B是上任意兩點，則稱為的方向向量。

解讀：與平行的任意非零向量也是直線的方向向量；是非零向量，有無數多個，彼此平行，且與直線平行。

2.平面的法向量的定義：

若直線垂直于平面α，則把的方向向量叫作α的法向量。

解讀：平面的法向量是非零向量，有無數多個，彼此平行，且垂直于該平面。

3.直線的方向向量與平面的法向量的確定

直線方向向量的確定：由定義知在直線上任取兩個點構造出一個非零向量，就是直線的方向向量；或已知與直線平行的向量，可作為直線的方向向量。

平面法向量的確定方法：

法一：依定義有：若已知是α的垂線，則l的方向向量是α的法向量。

法二：在α上任取不共線的三個點，構造出兩個不共線的向量和，設α的法向量為，則垂直于和，即有，用坐標表示則得到關于x，y，z的三元一次方程組，該方程組有無數組解，只需取出一組解（給x賦值可解得對應的y，z；同理給y或z賦值可解得其余兩個量），就得到α的一個法向量。

法二的依據是：和是平面α上兩個不共線向量，由平面向量基本定理知：平面α上任一向量，可用和表示：

垂直于和，即，

，

垂直于，即垂直于平面α上任意向量，是平面的一個法向量。

二、通過向量確定線、面之間的平行與垂直

學生已會求直線的方向向量和平面的法向量，這一部分的任務就變成將線、面的平行與垂直和相關向量之間的關系進行歸納，可引導學生完成，得出結論：

已知直線的方向向量分別為，平面α，β的法向量分別為，

三、利用向量來計算夾角

1.空間向量夾角公式及其坐標表示：，

則

2.線、面夾角的定義以及線、面夾角與向量夾角的關系i）直線的夾角

定義當兩直線共面時，把交角中在的角叫作的夾角；當是異面直線時，在上任取一點A作，把與AB的夾角叫做的夾角，其范圍為.

綜上，夾角，設的方向向量分別為，則有：

若，則；

若；則；

∴.

3.平面的夾角

定義：平面α，β相交于直線，點A為上任意一點，過A在上分別作，，把的夾角叫作平面α，β的夾角。

可知平面的夾角轉換為共面兩直線的夾角，所以.

設∠BAC是α，β的夾角θ，

即∠BAC是的夾角，.

如圖，C作α的垂線，過B作β的垂線，.

則∠BAC+∠BDC=π，且的方向向量是α的法向量，記為；的方向向量是β的法向量，記為；

；；

∴平面α，β的夾角或，

.

4.直線與平面的夾角

定義：平面外一條直線與它在該平面內的投影的夾角叫作該直線與此平面的夾角.可知將直線與平面的夾角轉化為兩直線的夾角，則范圍是.

已知直線ι與平面α相交于點B，在ι上任取一點A，過A作的α垂線交α于點C。

設的方向向量為，∠ABC是與α的夾角θ，即θ=∠ABC，.又AC是α的一條垂線，則AC的方向向量是α的法向量。

∴，又；

∴或；

∴或；.

四、利用向量計算距離

1.在上的投影的大小為：；

2.求平行線間的距離轉化為求點到直線的距離；求與平面平行的直線到該平面的距離轉化為求點到平面的距離；求兩平行平面間的距離轉化為求點到面的距離。

以上是本人對《空間向量與立體幾何》教學上的一點認識。