充分條件和必要條件的判定與應用

張西情

摘 要：本文主要有兩方面的內容，一是介紹了三種常用的判定充分條件和必要條件的方法；二是給出了充分必要條件的應用。

關鍵詞：充分條件 必要條件 集合思想 等價轉化思想

充分必要條件作為考綱中的必考內容，它的要求是“理解必要條件、充分條件與充要條件的意義”。雖然，在近幾年的高考課標卷中，幾乎都沒有進行直接考察，但是它可以和許多知識點綜合，仍是高考命題的活躍點。所以，我們在學習充分必要條件的過程中，首先要明確如何判定充分條件和必要條件，然后才能應用充要條件解決相關的綜合問題。[1]

一、幾種常用的判定方法

1.定義法

定義法就是直接利用充分條件和必要條件的定義進行判定，這是最基本、最常用的方法，利用“是的什么條件”關鍵就是根據相關知識分析與之間的推出關系。[2]

（1）如果p?q，則p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；

（2）如果p?q，但qp，則p是q的充分不必要條件；

（3）如果p?q，且q?p，則p是q的充要條件；

（4）如果q?p，且pq，則p是q的必要不充分條件；

（5）如果pq，且qp，則p是q的既不充分也不必要條件。

例①已知：，：，則是的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：若，根據函數性質，必有，所以由可以推出；若，根據正弦函數的周期性，或，所以由不能推出。由此可知是充分不必要條件，故選（A）。

2.等價法（逆否法）

當所給的命題條件和結論之間的關系不好判斷時，常利用互為逆否的命題同真假來進行等價轉換，從而判斷條件類型。即 “原命題逆否命題”，“否命題逆命題”進行等價轉換，一些否定形式的命題常用這種方法。

（1），等價于，即p是q的充分條件。

（2）p q，等價于﹁q﹁p，即p是q的既不充分條件。

例②已知：不是偶數，：，不都是偶數，則是的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：因為“若，則（若，都是偶數，則是偶數）”為真命題，所以由可以推出；因為“若，則（若是偶數，則，都是偶數）”為假命題，所以由不能推出。由此可知是充分不必要條件，故選（A）。

3.集合法

從集合的觀點看，建立命題，相應的集合：：，：，則有

（1）若，則是的充分條件，若 ，則是的充分不必要條件；

（2）若，則是的必要條件，若 ，則是的必要不充分條件；

（3）若，則是的充要條件；

（4）若且，則既不是的充分條件，也不是的必要條件；

因此，判斷是的什么條件，也可以從集合的角度借助數軸來考慮。

例③設集合，，則“”是“”的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：由題意，結合數軸易得，所以若“”不一定推出“”；若“”，則“”。所以“”是“”的必要不充分條件，故選（B）。

在判斷充分條件和必要條件時，靈活運用上述三種方法，必會事半功倍。[3]

二、與充分必要條件結合的綜合問題---求參數取值范圍

根據充要條件求參數范圍，一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合直接的關系，然后根據集合之間的包含、相等關系列出關于參數的不等式（組）求解；有時也采用等價轉化思想把復雜、生疏的問題轉化為簡單、熟悉的問題來解決。最后，在解題的過程中，一定要注意區間端點值的檢驗，此處容易增解或漏解。

1.利用集合思想求解

例④已知P={x|x2-8x-20≤0}，非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}。若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍。

解析：由x2-8x-20≤0，得-2≤x≤10，

∴P={x|-2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.

則

∴當0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0，3]。

2.利用等價轉化思想求解

例⑤已知條件p：x2+2x-3>0；條件q：x>a，且﹁q的一個充分不必要條件是﹁p，則a的取值范圍是（ ）

A.[1，+∞） B.（-∞，1]

C.[-1，+∞） D.（-∞，-3]

解析：由x2+2x-3>0，得x<-3或x>1，由﹁q的一個充分不必要條件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件。

∴{x|x>a} {x|x<-3或x>1}，

∴a≥1. 選A。

最后，我們都知道，任何知識的學習都不是獨立的，充要條件也是如此，并且它的靈活性和綜合性都很強，我們需要做的是理解它的意義，明確它的判定，并熟練掌握其他知識，最終達到應用它來求解一些簡單的綜合問題，這樣在面臨高考中關于充要條件的考查，我們才能以不變應萬變，笑對高考。

參考文獻

[1]嚴士健，王尚志.數學（選修2-3）教師教學用書[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]石立坤，劉際山.鼎尖教案-數學北師大選修2-1[M].吉林：延邊教育出版社，2016：14-38.

[3]曲一線，王全銀。5年高考3年模擬[M].北京：教育科學出版社，2012：5-8.