含進(jìn)化的適應(yīng)性測度的做市商庫存動態(tài)模型研究

楊 志，王 婧

(伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆伊寧 835000)

1 研究背景

近些年，在金融市場中關(guān)于異質(zhì)代理商模型的研究受到越來越多的學(xué)者的關(guān)注，尤其是在Brock and Hommes[1]的引導(dǎo)下，得到了進(jìn)一步的研究，大多數(shù)學(xué)者考慮市場中有兩類投資者：基本面分析者和技術(shù)分析者，投資于一支無風(fēng)險資產(chǎn)和一支風(fēng)險資產(chǎn)，由于投資者對未來價格變化的不確定性，進(jìn)而產(chǎn)生不同的信念，采用不同的交易策略，進(jìn)而產(chǎn)生不同的期望價格，通過均值-方差最大化來決定投資數(shù)量，投資者之間相互博弈，在市場中進(jìn)行交易，再利用做市商來出清市場價格.

由于做市商的不同角色，產(chǎn)生了不同模式的出清市場價格，如Carl[2]利用市場供給來出清市場價格，Carl[3]又提出做市商利用庫存來出清市場價格，做市商扮演了不同的角色：投資者和供應(yīng)商.Mei Zhu[4]也考慮了在做市商扮演兩種角色下的金融市場模型，做市商對于市場穩(wěn)定性所起的不同作用.

波動聚集性作為金融市場數(shù)據(jù)的典型特征之一，很多學(xué)者通過建立不同的模型來模擬市場數(shù)據(jù)特征，如Brock and Hommes[1]提出度量交易策略的適應(yīng)性測度，但其沒有考慮風(fēng)險因素，Gaunersdorfer[5]考慮將風(fēng)險加入，即風(fēng)險調(diào)整后的適應(yīng)性測度；Roberto Dieci and Xue-Zhong He[6]通過改變市場分?jǐn)?shù)的不同組合方式，對模型作進(jìn)一步的修改，以此希望更好地模擬真實(shí)市場.

本文建立做市商庫存動態(tài)模型，該模型含有兩類投資者：基本面分析者和技術(shù)分析者，做市商利用庫存出清市場價格，同時做市商扮演供應(yīng)商和投資者的角色，考慮動態(tài)的市場分?jǐn)?shù)，同時采用經(jīng)風(fēng)險調(diào)整后的適應(yīng)性測度，以此來決定投資者在市場中所占的比例；利用差分系統(tǒng)理論與分支理論，考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域，以及分析主要參數(shù)α,β,γ對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，進(jìn)而說明相應(yīng)參數(shù)在真實(shí)系統(tǒng)的作用，更好地解釋真實(shí)市場的數(shù)據(jù)特征.

2 建立模型

參考Carl[7]建立的隨機(jī)模型：

(1)

這里考慮市場中有三類投資者：基本面分析者、圖表分析者、做市商.

2.1 基本面分析者，技術(shù)分析者

考慮其對未來價格條件期望與Carl[7]建立的模型一致.

2.2 做市商

作為市場投資者，為了得到自己的既得利益，設(shè)置投資組合最優(yōu)化，達(dá)到目標(biāo)庫存：

(2)

其中，α表示做市商調(diào)整庫存的速度.作為供應(yīng)商，做市商有義務(wù)保證市場的流動性，維護(hù)市場的穩(wěn)定.

2.3 市場分?jǐn)?shù)

考慮基本面分析者和圖表分析者所占的市場分?jǐn)?shù)分別為q1，t和q2，t，并且分為固定部分與時變部分，即不改變投資策略和投資策略隨時間改變而改變[4]，其中n1和n2分別為投資策略不改變者所占的比例，n1，t和n2，t分別為投資策略改變者所占的比例，并且n1+n2=1，n1，t+n2,t=1，設(shè)γ為不改變投資策略所占的比例，則1-γ為改變投資策略所占的比例；記n0=n1-n2，mt=n1,t-n2,t，則有：

(3)

假設(shè)nh,t由離散選擇概率來確定：

(4)

其中，β表示選擇強(qiáng)度，用以衡量不同投資者對于不同投資策略的傾向程度；Ch表示h類投資者為其策略選擇所產(chǎn)生的固定費(fèi)用；Uh,t為t時第h類投資者獲得的利潤，用來衡量該交易策略的性能，稱作適應(yīng)性測度.采用發(fā)展的適應(yīng)性測度[8]，即經(jīng)過風(fēng)險調(diào)整后的適應(yīng)測度.

(5)

其中，η為適應(yīng)測度的記憶強(qiáng)度，則：

(6)

2.4 市場出清

假設(shè)做市商通過調(diào)整庫存出清市場價格：

(7)

其中，zt=q1,tz1,t+q2,tz2,t.

綜上得到隨機(jī)離散動力系統(tǒng)模型為：

(8)

3 確定性動力系統(tǒng)的討論

(9)

由于做市商在市場的不同角色，分兩種情況分別來進(jìn)行討論：

(i)當(dāng)α=1，做市商迅速將下一時期庫存調(diào)整為目標(biāo)庫存水平.

(10)

即S1局部漸近穩(wěn)定的條件.

推論1 基本均衡點(diǎn)S1在(β,γ)的局部漸近穩(wěn)定區(qū)域為：

(ii)當(dāng)0<α<1的一般情形.

引理1 已知特征方程為λ3+c1λ2+c2λ+c3=0，則相應(yīng)的系統(tǒng)在不動點(diǎn)處漸近穩(wěn)定為：

由此，可得到該系統(tǒng)模型在不動點(diǎn)S1處的漸近穩(wěn)定區(qū)域為：

推論2 基本均衡點(diǎn)S1在(β,α)局部漸近穩(wěn)定區(qū)域如下：

4 結(jié)論

本文建立了做市商庫存動態(tài)模型，利用差分系統(tǒng)理論，考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域，分析了主要參數(shù)α,β,γ對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，得到如下結(jié)論：

當(dāng)α=1時，做市商快速將下一期庫存調(diào)整為目標(biāo)庫存，則基本均衡點(diǎn)穩(wěn)定區(qū)域主要依賴于基本面分析者和技術(shù)分析者；當(dāng)0<α<1且α取不同值時，得到相近的穩(wěn)定區(qū)域，說明做市商對于市場的穩(wěn)定性作用有限，主要依賴于基本面分析者和技術(shù)分析者.

當(dāng)γ取不同值，其取值為0.5左右，堅持投資策略改變者與堅持投資策略不改變者的比例相差不大時，產(chǎn)生的穩(wěn)定區(qū)域為兩部分；當(dāng)γ較大或者較小，一方作用比另一方作用較強(qiáng)時，穩(wěn)定區(qū)域為一部分，且分支邊界關(guān)于做市商的作用強(qiáng)度對稱.

[參考文獻(xiàn)]

[1]Brock W,Hommes C.Heterogeneous beliefs and routs to chaos in a simple asset pricing model[J].Journal of Economic Dynamic & Control,1998(22):1235-1274.

[2]Chiarella C,He X-Z.Heterogeneous beliefs,risk and learning in a simple asset pricing model[J].Computational Economics 2002(19):95-132.

[3]Chiarella C,He X-Z.Heterogenous beliefs,risk and learning in a simple asset pricing model with a market maker[J].Macroeconomic Dynamics,2003(7):503-536.

[4]Zhu M,Chiarella C,He X Z,et al.Does the market maker stabilize the market?[J].Physica A:Statistical Mechanics and its Applications,2009(15):3164-3180.

[5]Gaunersdorfer A,Hommes C.A nonlinear structural model for volatility clustering[J].Cendef Working Papers, 2000(00-01):265-288.

[6]Dieci R,Foroni I,Gardini L,et al.Market mood,adaptive beliefs and asset price dynamics[J].Chaos,Solitons and Fractals,2006(29):520-534.

[7]Chiarella C,He X,Wang D.Stock price and market maker inventory dynamics with heterogeneous beliefs[C].Working Paper,School of Finance and Economics,University of Technology,Syde-Ney,2011.

[8]Gaunersdorfer A,Hommes C H,Wagener F O O.Bifurcation routes to volatility clustering under evolutionary learning[J].Journal of Economic Behavior & Organization,2001(1):27-47.

[9]Sonis M.Critical bifurcation surfaces of 3D discrete dynamics[J].Discrete Dynamics in Nature & Society,1999(4):333-343.

[10]王聯(lián),王慕秋.常差分方程[M].烏魯木齊:新疆大學(xué)出版社,1991:202-204.