蒙特卡羅方法在數(shù)量金融中的應(yīng)用

周強(qiáng)

摘要：隨著金融衍生產(chǎn)品市場(chǎng)的進(jìn)一步發(fā)展，我國(guó)的金融衍生工具將越來(lái)越豐富，投資者對(duì)衍生品定價(jià)精確度要求越來(lái)越高，蒙特卡羅模擬方法是衍生產(chǎn)品定價(jià)的強(qiáng)有力工具，開展蒙特卡羅對(duì)數(shù)量金融的應(yīng)用研究十分重要。鑒于此，文章將圍繞蒙特卡羅模擬方法在數(shù)量金融領(lǐng)域的應(yīng)用展開研究和探討，以期對(duì)相關(guān)人員有所裨益。

關(guān)鍵詞：蒙特卡羅方法；數(shù)量金融；應(yīng)用

引言

金融衍生品是二級(jí)市場(chǎng)重要的套期保值工具，要順利規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)必須對(duì)衍生產(chǎn)品進(jìn)行精確定價(jià)。個(gè)別簡(jiǎn)單期權(quán)在嚴(yán)苛的假設(shè)前提下存在解析表達(dá)式，一般而言，對(duì)期權(quán)定價(jià)要使用數(shù)值方法。二叉樹方法和有限差分法對(duì)于低維衍生品計(jì)算速度快，但是對(duì)于奇異期權(quán)，蒙特卡羅模擬可能是實(shí)際應(yīng)用中唯一可行的方法。

1普通蒙特卡羅模擬方法

蒙特卡羅模擬方法又叫做隨機(jī)模擬技術(shù)，它通過(guò)建立概率統(tǒng)計(jì)模型，使求出的參數(shù)估計(jì)量為問(wèn)題的數(shù)值解，之后通過(guò)對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，用這些樣本值計(jì)算參數(shù)估計(jì)值，并給出相應(yīng)的概率分布特征，最后給出數(shù)值解，數(shù)值解的精確度可以用估計(jì)值在給定顯著性水平下的置信區(qū)間來(lái)衡量。對(duì)于金融衍生產(chǎn)品定價(jià)問(wèn)題，主要求t=0時(shí)刻的價(jià)格，即貼現(xiàn)支付（Payoff）的無(wú)條件期望，這可以用樣本均值這一參數(shù)估計(jì)量來(lái)作為數(shù)值解。如果通過(guò)蒙特卡羅模擬方法計(jì)算得出的參數(shù)估計(jì)量的概率分布比較簡(jiǎn)單，可以得到其確切的概率累積分布函數(shù)表達(dá)式或者矩母函數(shù)，則得到了參數(shù)估計(jì)量這一隨機(jī)變量的所有性質(zhì)，但是模擬參數(shù)估計(jì)量的概率分布計(jì)算量非常大。在金融衍生產(chǎn)品定價(jià)問(wèn)題中，一般只需要求貼現(xiàn)支付的—階矩。

蒙特卡羅模擬方法的思想是通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣計(jì)算參數(shù)估計(jì)量的概率分布特征，隨后給出金融衍生產(chǎn)品定價(jià)問(wèn)題的數(shù)值解。如果已經(jīng)知道隨機(jī)變量所服從的概率分布或者把定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)為已知概率分布的變量的函數(shù)，就可以用蒙特卡羅模擬方法，它的統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)是辛欽大數(shù)定律（Khinchin Law of Large Numbers）與列維一林德伯格中心極限定理（Lindburg-Levy Central Limit Theorem），由于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本為獨(dú)立同分布的，辛欽大數(shù)定律使得樣本均值這一隨機(jī)變量依概率收斂到總體均值。作為點(diǎn)估計(jì)，列維一林德伯格中心極限定理使得樣本均值的分布依概率收斂到相應(yīng)均值和方差的正態(tài)分布，能以此概率分布信息構(gòu)造給定顯著性水平下的置信區(qū)間，作為區(qū)間估計(jì)，評(píng)估蒙特卡羅模擬方法的精確度。

普通蒙特卡羅模擬方法使用步驟：假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)所服從的隨機(jī)過(guò)程；在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣生成標(biāo)的資產(chǎn)S的樣本價(jià)格路徑；計(jì)算衍生品的支付；根據(jù)預(yù)先設(shè)定的重復(fù)抽樣次數(shù)循環(huán)步驟，以取得大量該衍生品的支付樣本；用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)衍生品支付進(jìn)行貼現(xiàn)；計(jì)算貼現(xiàn)支付的樣本均值，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本為獨(dú)立同分布的，根據(jù)辛欽大數(shù)定律，該樣本均值即為衍生品現(xiàn)值的點(diǎn)估計(jì)；簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本為獨(dú)立同分布的，根據(jù)列維—林德伯格中心極限定理，根據(jù)相應(yīng)均值和方差的正態(tài)分布性質(zhì)構(gòu)造給定顯著性水平下的置信區(qū)間，即得衍生品現(xiàn)值的區(qū)間估計(jì)。

與解析方法比較，蒙特卡羅模擬方法有更好的靈活性，要求出金融衍生產(chǎn)品的解析公式往往需要不切實(shí)際的假設(shè)，這大大限制了解析公式的實(shí)際應(yīng)用范圍。使用蒙特卡羅模擬方法進(jìn)行資產(chǎn)定價(jià)，可以在更寬松的條件下生成標(biāo)的資產(chǎn)樣本路徑，如可以假設(shè)隨機(jī)過(guò)程帶跳，波動(dòng)率服從隨機(jī)擴(kuò)散過(guò)程，利率隨機(jī)化，或者服從一些厚尾分布，使其更符合現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)。此外，蒙特卡羅模擬方法可以作為決策實(shí)驗(yàn)室，可以根據(jù)分布生成各種風(fēng)險(xiǎn)因子的未來(lái)狀態(tài)，結(jié)合管理者對(duì)未來(lái)風(fēng)險(xiǎn)水平的主觀分析，有助于金融風(fēng)險(xiǎn)管理決策。

2其他蒙特卡羅模擬方法

第一，條件蒙特卡羅模擬方法。條件蒙特卡羅模擬方法是降低方差技術(shù)中應(yīng)用前提最嚴(yán)苛的方法，它要求條件期望存在解析表達(dá)式。條件蒙特卡羅模擬方法相比于普通蒙特卡羅模擬方法，置信區(qū)間變小了，衍生品現(xiàn)值的估計(jì)更精確了。

第二，擬蒙特卡羅模擬方法。擬蒙特卡羅模擬方法又稱為低差異序列方法。此方法和普通蒙特卡羅模擬方法不一樣，不生成隨機(jī)序列。實(shí)際上，擬蒙特卡羅模擬方法產(chǎn)生足夠均勻的點(diǎn)，這些點(diǎn)分布單位在區(qū)間上，是確定性序列，故只能做點(diǎn)估計(jì)，不能做區(qū)間估計(jì)。在使用該法為金融衍生產(chǎn)品估計(jì)現(xiàn)值時(shí)，積分的計(jì)算要從這個(gè)定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)換而成，衍生品現(xiàn)值不可再用無(wú)條件期望表示。

3蒙特卡羅方法在數(shù)量金融中的應(yīng)用

3.1普通蒙特卡羅模擬在多期收入保證價(jià)格中的應(yīng)用

多期收入保證價(jià)格C（0）的“多期”，在數(shù)學(xué)上體現(xiàn)為路徑依賴，即要求模擬承 的整個(gè)路徑，要考慮 （t）和N（t）的增量獨(dú)立性.把時(shí)間區(qū)間[0，T]等分為J份，步長(zhǎng)dt= ，即0

用下式即可生成dN（k）：其中P -P（ ）.生成d （j）和dN（k）后，再生成InK（l）～N（ ），最后把三個(gè)隨機(jī)源代入相關(guān)公式，

得根據(jù)該方法的公式C（0）顯著性水平為α的置信區(qū)間為

3.2條件蒙特卡羅模擬方法在多期收入保證價(jià)格中的應(yīng)用

目標(biāo)函數(shù)X；表達(dá)式如下 能夠解出一部分解析解

其中

設(shè)

設(shè)為標(biāo)的波動(dòng)率，K為相應(yīng)歐式看漲期權(quán)敲定價(jià)，KR+，歐式看漲期權(quán)具有馬爾可夫性質(zhì)，在任意時(shí)刻t的價(jià)格為：.

標(biāo)的Sto（t）服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)：

于是

Sto（t）關(guān)于F（t）-可測(cè)，YYY獨(dú)立于F（t）根據(jù)公式得

最終所得顯著性水平為a的置信區(qū)間為：

3.3對(duì)比兩種蒙特卡羅方法結(jié)果

給定參數(shù)值其置信區(qū)間長(zhǎng)度幾乎沒(méi)有區(qū)別，但是在動(dòng)態(tài)參數(shù)值下期置信區(qū)間長(zhǎng)度如下：

從表1可以看出，普通蒙特卡羅模擬精確度最差，對(duì)偶變量法和控制變量法精確度差不多，控制變量法略好一些，精確度最高的是條件蒙特卡羅法。這不難理解，因?yàn)闂l件蒙特卡羅法用到了條件期望的解析解，數(shù)值解精度再高也比不上解析解。條件期望存在解析解這一前提條件比較難實(shí)現(xiàn)，即使存在解析解。可以看出，解出條件期望的解析公式并不容易.控制變量法的難點(diǎn)在于控制變量均值解析公式的求解，復(fù)雜程度不如條件蒙特卡羅法.對(duì)偶變量法最簡(jiǎn)單，精確度只略差于控制變量法，相比普通蒙特卡羅法有所改進(jìn)。

綜上，給定多期收入保證價(jià)格的各個(gè)參數(shù)，各種蒙特卡羅模擬方法均能有效計(jì)算出其數(shù)值解，運(yùn)用顯著性水平為a=0.05的置信區(qū)間長(zhǎng)度作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，發(fā)現(xiàn)普通蒙特卡羅方法的置信區(qū)間長(zhǎng)度最大，對(duì)偶變量法和控制變量法次之，條件蒙特卡羅最小，普通蒙特卡羅方法精確度最差，精確度最好的是條件蒙特卡羅方法。事實(shí)上，各種蒙特卡羅方法應(yīng)該取長(zhǎng)補(bǔ)短，組合使用。

當(dāng)高維度數(shù)量金融問(wèn)題不存在解析公式時(shí)，蒙特卡羅模擬是個(gè)行之有效的方法，但未必是萬(wàn)能的方法。當(dāng)隨機(jī)跳躍幅度參數(shù)位于某一區(qū)間時(shí)，蒙特卡羅模擬是無(wú)效的，得出的置信區(qū)間不足以估值。同樣對(duì)于一些不具有鞅性的衍生品，如美式看跌期權(quán)，選擇期權(quán)（Chooser Option）等，均不能用普通蒙特卡羅模擬方法定價(jià)，美式看跌期權(quán)需要結(jié)合動(dòng)態(tài)規(guī)劃定價(jià)，選擇期權(quán)需要用條件蒙特卡羅方法定價(jià)。金融市場(chǎng)不斷發(fā)展，金融產(chǎn)品不斷創(chuàng)新，對(duì)于層出不窮的金融工具，必然存在蒙特卡羅模擬所不能估值的金融衍生品，這時(shí)候就要發(fā)展更有針對(duì)性的蒙特卡羅方法，這是未來(lái)蒙特卡羅在數(shù)量金融應(yīng)用的主要課題。

結(jié)束語(yǔ)

當(dāng)高維度數(shù)量金融問(wèn)題不存在解析公式時(shí)，蒙特卡羅模擬是個(gè)行之有效的方法，但未必是萬(wàn)能的方法。金融市場(chǎng)不斷發(fā)展，金融產(chǎn)品不斷創(chuàng)新，對(duì)于層出不窮的金融工具，必然存在蒙特卡羅模擬所不能估值的金融衍生品，這時(shí)候就要發(fā)展更有針對(duì)性的蒙特卡羅方法，這將是未來(lái)蒙特卡羅在數(shù)量金融應(yīng)用的主要課題。

參考文獻(xiàn)：

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