建立表象感知屬性
——《認識直角》教學片斷與解讀

宋煜陽

（本文作者系朱樂平名師工作站“一課研究”組成員）

在數學史上，“角”是一個具有多重屬性的幾何概念。小學教材中，涉及到角的屬性主要有三種，分別是“質”“量”和“關系”。“質”指的是形狀和特征；“量”指的是大小；“關系”指的是兩線之間的關系。對直角來說，“質”的屬性表現為直角的表象，“量”的屬性是指“90 度”，“關系”的屬性反映兩條直線的垂直關系。二年級的《認識直角》一課不涉及“量”的屬性，主要落實“質”的屬性，也涉及到“關系”屬性，如找生活中的直角、平面圖形中的直角，在本質上都是反映兩條線之間的垂直關系。

通過前測訪談筆者發現，盡管多數學生聽說過直角，但對直角的認知基本停留在“直直方方”“一橫一豎”的表象上，對三角尺中的直角、非水平方位的直角、直角的大小都不清晰。為此，本節課的主要學習目標是形成直角表象，感知直角“質”的屬性并初步感知“關系”的屬性，集中反映為建立標準角和運用標準角描述。依據學習目標，在教學設計中就要通過比一比、轉一轉、折一折、拼一拼、畫一畫、找一找等大量操作活動，加強概念的變式與運用，力求掌握直角“質”和“關系”的屬性，形成正確的直角表象，建立標準參照意識。

【教學片斷與解讀】

一、抽象歸類，說說對直角的直觀印象

1.出示鐘面、剪刀、國旗三幅圖，組織學生找角，抽象出相應的角（如下圖所示）。

回憶：它們有什么共同特點？

生：每個角都有一個頂點，兩條邊。

2.將后面四個角圈在一起（如上圖），觀察討論：這些角有什么特點？

生：直直的、方方的。

師：這就是今天要認識的一類特殊的角——直角。

【解讀：鐘面、剪刀、國旗三幅實物圖，相應抽象出鈍角、銳角、直角三類角，回憶復習了角的一般特點，緊接著將國旗中不同方位引出的四個直角進行歸類，組織學生觀察直角的特點，通過“直直的”“方方的”等直觀描述，初步感知了角、直角之間的一般與特殊的關系。】

二、觀察比較，發現三角尺上的直角一樣大

1.出示教師教學用的一副大三角尺，觀察討論：這兩把三角尺上有直角嗎？你能指一指直角嗎？（學生指認）

2.教師不斷轉動三角尺，觀察討論：你還能找到這把三角尺上的直角嗎？（學生指認）

3.觀察討論：這兩把三角尺上的直角一樣大嗎？（多數學生認為不一樣大，部分學生認為一樣大）

（組織學生將兩把三角尺的直角重疊比較，進行點撥，發現兩把大三角尺雖然形狀不同，但尺上的直角一樣大）

4.觀察討論：找一找自己三角尺上的直角，指給同桌看，并和同桌比一比，三角尺上的直角一樣大嗎？（學生通過操作發現，小三角尺上的直角是一樣大的）

5.觀察討論：老師這把大三角尺上的直角和你們小三角尺上的直角一樣大嗎？

生：不一樣大，老師的大，我們的小。

（組織學生將大小三角尺用重疊法進行比較，發現大、小三角尺上的直角還是一樣大）

6.觀察討論：猜一猜，北京小朋友三角尺上的直角和我們三角尺上的直角一樣大嗎？

生：一樣大。

總結：不管是大的三角尺還是小的三角尺，不管是國內的三角尺還是國外的三角尺，所有三角尺上的直角都一樣大。

【解讀：本環節中通過不斷旋轉三角尺，組織學生指認同一個直角，感知到不同方位直角的形狀，從而不斷豐富直角三角形的表象。在角的初步認識中，“角的大小與邊的長短無關，與兩邊叉開的大小有關”一直是難點，對于直角來說也是如此。學生習慣于用形的大小決定角的開口大小。針對這一難點，本環節分別安排了兩個大三角尺上直角的比對、學生之間小三角尺上直角的比對、大小三角尺上直角的比對等多次實證活動，逐步幫助學生接受“雖然三角尺有大小，但所有的直角開口是一樣大的”這個數學事實，體會標準角的統一性，同時多次感知了直角這個標準開口，有利于形成正確表象。】

三、工具判斷，認識直角的開口是一樣大的

1.提供《學習單》，判斷下面哪些是直角？這些直角有什么不同和相同的地方？

生 1：1、3、5 不是直角，2 和 4是直角。

師：你是怎么想的？

生1：1號角太小了，3號角太大了，5號是斜的，不是直的。

生2：我認為5號也是直角，把練習紙轉一下，它就變直了。

師：前四個角大家一眼就看出來了，但遇到像5號這樣用肉眼很難判斷的時候怎么辦？

生：用三角尺量。（學生示范，教師指導：頂點對頂點，一條邊對一條邊，完全重合就是直角）

師：這幾個直角有什么相同的地方？又有什么不同呢？

生：都有一個頂點兩條邊，都與三角尺上的直角一樣大。

2.2.3 選擇其他護理專業相關職業 有受訪者表示不會局限于選擇高校或臨床工作，會考慮與專業相關、能力能得到體現和提升的工作或創業。B：“我可能會開一家健康管理中心這種類似的機構。”G：“我可能不想局限在學校或醫院，想去比如世界衛生組織、跟艾滋病相關的那些機構工作，可能不完全屬于護理，希望自己得到提升或者發展空間比較大的那種環境，能力得到體現和不斷提高。”

生：邊的長短不一樣，開口方向也不一樣。

小結：這些直角雖然邊的長短不同，開口方向也不同，但是它們的大小相同。

2.學具操作變式，感悟直角的變與不變。

●操作一：利用疊合的直角學具進行旋轉，黑板上板貼不同方位的直角學具。

觀察討論：調皮的直角動了起來，旋轉后這三個角還是直角嗎？

組織學生用三角尺對方位變化后的直角進行驗證，發現這些角的確是直角。

操作一 操作二

●操作二：將直角的一條邊拉動，黑板上板貼。

觀察討論：現在這兩個還是直角嗎？

生：不是直角。

質疑：為什么剛才變出來的都是直角，現在卻不是了呢？

生：剛才只是開口方向變了，開口大小沒有變。現在開口變了。

小結：不管怎么轉，只要直角的開口大小不變，轉動后它依然是直角；如果直角的開口變大或變小，它就不再是直角了。

【解讀：《學習單》中提供了不在水平方位的直角，引起肉眼無法判斷的沖突，產生用三角尺比對的需求，使學生認識到三角尺上的直角不只是一個直角，而且是衡量其他角是否為直角的參照標準。在直角變化的兩次操作對比活動中，學生將直角的大小聚焦到開口大小這一本質上來，有效呈現了直角“質”的屬性。】

四、尋找直角，感受兩條直角邊所在線的關系

1.找身邊的直角。

（1）觀察討論：在我們的身邊你能找到直角嗎？

（2）觀察討論：你能用手勢比劃一個直角嗎？

同桌間互相用三角尺驗證。

2.猜直角，數直角。

出示圖1，觀察討論：老師畫了一個角，可是被云朵擋住了，你認為它是直角嗎？

電腦驗證后延長直角的兩條邊（圖2），觀察討論：現在你能找到幾個直角？

生：4個。（組織學生指認）

出示圖3，觀察討論：現在有幾個直角了呢？

生：8個。（組織學生指認）

3.尋找直角路線。

出示下圖，思考討論：小紅從家里出發，怎么走經過的路線可以成一個直角？

【解讀：檢驗學生是否正確建立了直角的表象，關鍵在于學生能否調用直角表象進行描述，為此本環節安排了多維活動進行體驗。“找身邊的直角”活動既有靜態的物體表面直角材料，又有動態的手勢直角比劃。“猜直角，數直角”活動首先進行觀察估計、工具驗證，接著將直角邊延長形成四個直角，讓學生感知到兩條線相交會形成直角，最后在正方形內數直角，都圍繞兩條線段之間的位置進行直角判斷思考。尋找直角路線活動，既有標準的直角路線，又有變式的直角路線。一系列尋找直角的活動，既是對直角表象的鞏固，又是對直角“關系”屬性的呈現。】