數(shù)列教學中函數(shù)思想的應用

【摘要】函數(shù)思想在研究數(shù)學問題時效果顯著。數(shù)列可以看成是一種特殊的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)研究一些數(shù)列問題，可以發(fā)現(xiàn)解決問題的新思路、新方法，為數(shù)列問題的研究提供新的視角。求解數(shù)列項的最值、前n項和的最值、數(shù)列的單調(diào)性以及跟數(shù)列有關(guān)的不等式問題時，都可以用函數(shù)的方法開展研究。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列 函數(shù)思想

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）12-0144-01

一、從函數(shù)角度理解數(shù)列的概念

教材通過三角形數(shù)、正方形數(shù)的實例引入數(shù)列的概念，指出數(shù)列實際就是按照一定順序排列的一列數(shù)。數(shù)列可以看成是定義在正整數(shù)集或其有限子集{1，2，…n}上的函數(shù)，然后將數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，對數(shù)列表示中的列表法、圖象法、通項公式及簡單的遞推公式（解析法）也是借助于函數(shù)的研究方法進行的，實際分別對應著函數(shù)的三種表示方法。數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集或它的有限子集，解析式是，值域是當自變量從小到大依次取值1，2，3，…時的對應值，再次加深對函數(shù)三要素的理解。數(shù)列的通項公式可以看作是數(shù)列的函數(shù)解析式，要明確的是數(shù)列的圖象是一系列孤立的點。

二、應用函數(shù)思想掌握數(shù)列知識

在講解數(shù)列的通項公式時，舉例：如數(shù)列1，2，3，4，5，…的通項公式是，類似于正比例函數(shù)。如數(shù)列的通項公式是，類似于反比例函數(shù)。數(shù)列其通項公式，也可以寫成這兩個通項公式形式上雖然不同，但表示同一個數(shù)列。正像每個函數(shù)關(guān)系不能都用解析式表達出來一樣，也不是每個數(shù)列都能寫出它的通項公式，這種形式類似于分段函數(shù)。

三、利用例題滲透函數(shù)思想

例題：已知數(shù)列的通項公式為，其中p、q為常數(shù)，且p≠0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：如果數(shù)列的通項公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次函數(shù)，那么這個數(shù)列必定是等差數(shù)列。因而把等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)聯(lián)系起來。形如，一次項系數(shù)p就是這個等差數(shù)列的公差，首項是。若，是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列。等差數(shù)列的圖象是一次函數(shù)定義在正整數(shù)集上對應的點的集合。一次函數(shù)或常函數(shù)的圖象是一條直線，而等差數(shù)列的圖象則是這條直線上的離散的點。

等差數(shù)列的增減性：當時， 是遞增數(shù)列；當時， 是遞減數(shù)列；當時， 是常數(shù)列。

在等差數(shù)列前n項和中的例題：已知等差數(shù)列的前n項和為，求使得最大的序號n的值。

分析方法一：通項公式求前幾項和最大，就是考察從哪項開始不為正。解得。也就是說因此，這個數(shù)列第8項為0對和的大小不產(chǎn)生影響，數(shù)列的第7項或第8項和最大。

方法二：等差數(shù)列的前n項和公式可以寫成，所以可以看成函數(shù)當x=n時的函數(shù)值。另一方面，容易知道關(guān)于n的圖象是一條拋物線上的一些點。因此，我們可以利用二次函數(shù)來求n的值。

解：由題意知，等差數(shù)列的公差為，所以

于是，當n取與最接近的整數(shù)即7或8時，取最大值。

四、總結(jié)

等差數(shù)列的前n項和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，但要注意這里的n屬于正整數(shù)。點是在常數(shù)項為0的二次函數(shù)圖象上。如果二次函數(shù)的對稱軸橫坐標是正整數(shù)，在頂點處取得最值；如果二次函數(shù)的對稱軸橫坐標不是正整數(shù)，在最接近對稱軸橫坐標的正整數(shù)處取得最值。

解等差數(shù)列的前n項和最大（最小）問題的常用方法有：（1）二次函數(shù)法：可用二次函數(shù)的最值來確定的最值，（2）圖象法：可利用二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值，使達到最大（或最小）。用函數(shù)觀點解決等差數(shù)列的一些問題，可以起到意想不到的效果，尤其是在求最值得問題時，利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能使問題很容易的解決。

通過上述分析與說明，在數(shù)列的教學中，把函數(shù)概念、圖像、性質(zhì)有機地融入到數(shù)列中，通過數(shù)列與函數(shù)知識的相互交匯，使學生的知識網(wǎng)絡得以不斷優(yōu)化與完善，同時也使學生的思維能力得以不斷發(fā)展與提高。不管是數(shù)學概念的建立，數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，還是數(shù)學問題的解決都離不開數(shù)學思想方法的培養(yǎng)和建立，因此，在教學中要重視發(fā)掘在數(shù)學知識產(chǎn)生、形成、發(fā)展和應用中所蘊含的重要思想方法，尤其是函數(shù)思想貫穿于高中整個階段，溶于數(shù)學知識的體系中，寓函數(shù)思想方法于平時的教學之中，要使學生把這種思想內(nèi)化成自己的觀點并應用它來解決問題。

參考文獻：

[1]《高中數(shù)學教與學》，2011年02期.

[2]《中學教學參考》，2012年20期.

作者簡介：李文婷（1981.8-），女，漢族，烏魯木齊人，烏魯木齊市第九中學，理學學士，一級教師，從事高中數(shù)學教學工作。