高中數(shù)學直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

李木偉

（漳州市常山華僑經(jīng)濟開發(fā)區(qū)常山中學，福建 漳州 363307）

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決問題的過程。直觀想象是發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論和解決數(shù)學問題的重要素養(yǎng)，表現(xiàn)在能利用圖形探索和解決數(shù)學問題，構建數(shù)學問題的直觀模型。［1］數(shù)學題型種類繁多，由于學生認識面窄，知識儲備量薄，知識運用能力弱，特別是在定義、平面幾何及綜合題等方面更顯突出。筆者學校近幾年質量監(jiān)控情況，結合平常教學，認為直觀想象核心素養(yǎng)應始終貫穿于以下幾方面的教學。

一、定義教學與直觀想象的培養(yǎng)

在中學數(shù)學教材中，常常采用“定義”的方式來引入某個數(shù)學概念，然后通過系列的推理得出此概念的本質屬性，再直觀運用此概念去解決數(shù)學問題。理解定義是解題的前提，也是核心，它有助于提升學生的直觀想象能力。

例如，請根據(jù)平方根的定義，完成下列問題：

（1）求下列式子的x取值范圍；

①

（2）求下列方程的解。

①

分析：本題主要考查平方根定義知識的運用，平方根定義是“如果一個數(shù)x的平方等于a，那么x叫做a的平方根，即在這個定義的教學過程中，教師因強調平方根的結果及被開方數(shù)的雙非負性，而忽視了學生直觀想象的培養(yǎng)。

（1）教師可根據(jù)定義的內涵，抓住被開方數(shù)是非負數(shù)，分析被開方數(shù)可以由數(shù)和字母組成，進而讓學生體會到由特殊到一般的變化，以訓練學生嚴密的思維。教師通過引導，學生很自然地得出此類型題目的解題方法

（2）對于第一小題通過與定義直觀的對比，學生很容易得出 的值；第二小題通過分析想象，使平方根的定義與一元二次方程解法有機融合，進行作直觀的對比，讓兩個知識點之間得到橫向聯(lián)系，求出方程的解。

二、平面幾何題教學與直觀想象的培養(yǎng)

平面幾何研究的對象是形象直觀的圖形，而圖形是平面幾何中思維借以展開的依據(jù)。在平面幾何，例如在線段、角、三角形等教學中多做直觀演示，在演示中，要特別引導學生注意觀察，給學生提示應注意什么，問學生發(fā)現(xiàn)了什么，通過觀察和引導使學生獲得幾何直觀和空間想象思維的感性認識。

（一）圖形規(guī)律教學與直觀想象的培養(yǎng)

在圖形規(guī)律教學中，要著重培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)直觀圖形規(guī)律，并利用圖形的規(guī)律解決問題的能力。如1，學生數(shù)線段時易數(shù)錯，此時應引導學生通過直觀觀察，考慮每條線段都有兩個端點，抓住一個端點不變，另一個端點變化的思路，就可以找到所有線段。

圖1

圖2

圖3

經(jīng)過以上訓練，對于圖2和圖3，學生就不難數(shù)出角和三角形的數(shù)量。以上問題雖然簡單，但對于初學平面幾何的學生來講，的確有助于學生對圖形想象及圖形的分析能力提升。

（二）基本圖形教學與直觀想象的培養(yǎng)

徐立瞿在《基本圖形分析法》一書中指出，組成一個幾何問題圖形的最簡單、最重要、最基本的，但又是具有特定的性質，能明確地闡明應用條件和應用方法的圖形，稱為基本圖形。［2］在平面幾何教學中，教師常常遇到一些較為復雜的圖形，但也能把它分解成幾個相類似的基本圖形，從而培養(yǎng)學生觀察、分析和思考能力。

例如，“在直角三角形中，兩銳角互余”教學中，這是直角三角形這個基本圖形的一個基本性質，學生很容易掌握，但對由這個基本圖形組成的圖形，學生會通過直觀想象找出思路和解決的辦法。觀察圖4，說出圖中有幾個直角？哪些角互余？哪些角相等？此題的基本圖形是直角三角形，根據(jù)上述性質，本題的所有問題將迎刃而解。同時，在教學過程中，可以引導學生想象，當∠BAD和∠C滿足什么條件時，△ABC為直角三角形或等腰三角形。

在教學中，教師常遇到一些圖形，它們須通過作輔助線，才能找到它們構造的基本圖形，因此教師不僅要安排這方面的訓練，而且要引導學生會用有關知識去觀察、想象、分析，從而達到培養(yǎng)學生直觀想象能力的目的。

圖4

（三）圖形變換教學與直觀想象的培養(yǎng)

在平時教學中，教師常遇到圖形的基本變換（圖形所作的平移、軸對稱圖形的翻轉，中心對稱圖形的旋轉等），這些都是考查學生對軸對稱圖形與中心對稱圖形的理解，以及軸對稱圖形、中心對稱圖形與全等形之間的聯(lián)系。應有意識地滲透幾何變換的觀點，使學生觀察到由靜到動的變化，從而實現(xiàn)思維能力從幾何直觀到空間想象的飛躍。

如圖5，已知∠ADB=∠EDC，AD=BD，ED=DC，求證：AC=BE.

圖5

圖6

本題只要證明△ADC≌△BDE即可。證明時，我們還可以得出△ADC是由△BDE繞點D旋轉一個角度得到。通過想象，可以把上述例題包裝為：如圖6，在線段BC同側分別以BD、DC為邊作等邊三角形△ABD和△DCE，連接BE、AC，分別交AD、ED于M、N.求（1）DM=DN；（2）△ADC、△MDE怎樣才能分別到達△BDE和△NDC的位置呢？圖形變換的題目往往可以產(chǎn)生“一題多問”“一題多思”，教學中要讓學生勤于觀察、善于思考，才能發(fā)現(xiàn)、理解題目的內涵，促進直觀想象能力的提升。

三、綜合題教學與直觀想象的培養(yǎng)

在農村學校，教師發(fā)現(xiàn)很多學生對綜合性題目的處理能力都較弱，特別是涉及“動態(tài)”的問題，學生都很茫然，無從下手。在教學中，教師加強直觀想象的培養(yǎng)，讓學生從分析題意的過程中，感受綜合題是由幾個基礎知識相互交叉組成的，并不是不可以逾越的高峰。

如圖7，一次函數(shù)y=-2+3的圖象交軸于點A，交y軸于點B，點P在線段AB上（不與點A、B重合），過點P分別作OA和OB的垂線，垂足為C、D，求（1）△AOB的面積；（2）點P在何處時，矩形OCPD的面積為1.

本題涉及三角形、函數(shù)及一元二次方程等知識，信息量大，直觀知識多，想象空間廣。教師在本題的教學中，先讓學生夯實相關知識點，再引導學生可以從幾個方面對題目進行改造。

（1）一次函數(shù)y=-2x+3的解析式不直接給，通過改造條件，告之點A的坐標或者A和B的坐標等方式，考查一次函數(shù)解析式的求法。

（2）“點P在線段AB上（不與點A、B重合）”這個條件轉化為動點問題“點P從點A出發(fā)，沿AB方向運動”，感受動態(tài)問題的解題思路——化動為靜，“動”是迷惑的表面現(xiàn)象，“靜”是滿足條件的目標。

圖7

（3）以求矩形OCPD的面積進行拓展，①矩形OCPD的面積與△AOB的面積之間的倍分關系，可以加強數(shù)學思想方法教學；②當矩形OCPD的面積取得最大值時，求過點P、A、O的二次函數(shù)的解析式。

在進行綜合題的訓練時，首先得要求學生掌握定義、公式、法則等知識，同時應注意展示各知識之間橫縱聯(lián)系，及時將所學的知識進行整理和歸類，使學生想象問題的能力更有條理性、針對性，減少“想”的盲目性。在學習中要運用過去所獲得的知識包括接受學習中獲得的知識，通過運用這些知識可以使這些知識得到鞏固或者獲得新的理解。［3］

總之，教師要著力于學生的基礎知識教學，還要著力于培養(yǎng)學生獨立思考問題的習慣，發(fā)展學生的思維能力，關注學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，同時讓學生明白“授之以魚，不如授之以漁”的道理。

［1］黃炳鋒.充分發(fā)揮技術作用發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)［J］.福建基礎教育研究，2016（10）.

［2］徐立瞿.基本圖形分析法［M］.鄭州：大象出版社，1998：12.

［3］ 施良方，崔允漷.教學理論［M］.上海：華東師范大學出版社，1999：131.