對稱性在積分學(xué)中的應(yīng)用舉例

嚴(yán)峰軍　陳思源

[摘? ? ? ? ? ?要]? 歸納分析了具有對稱性二重積分和三重積分的方法，通過例題詳細(xì)介紹了解題方法。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 對稱性;二重積分;三重積分

[中圖分類號]? O712.2? ? ? ? ? ? [文獻標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號]? 2096-0603（2018）35-0212-01

與定積分相比，二重積分和三重積分的計算更加復(fù)雜，僅就二重積分來講，常規(guī)解法是根據(jù)積分區(qū)域選擇積分次序，定好積分限，將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分。然而，當(dāng)積分區(qū)域或被積函數(shù)具有某種對稱性時，若利用對稱性進行合理的搭配，則可化繁為簡，變難為易，起到事半功倍的作用。

一、二重積分的對稱性定理

（一）若積分域D關(guān)于x軸對稱，而D1是D中對應(yīng)于y≥0的部分，則

）若積分域D關(guān)于y軸對稱，而D1是D中對應(yīng)于x≥0的部分，則

（x，y）dσ，f（-x，y）=f（x，y），0，f（-x，y）=-f（x，y），

（三）若積分域D關(guān)于y軸和x軸均對稱，而D1是D中對應(yīng)于x≥0，y≥0的部分，則

x，y）dσ，f（-x，y）=f（x，-y）=f（x，y），0，f（-x，y）=-f（x，y）或f（x，-y）=-f（x，y），

注：既要注意積分域的對稱性，又要注意被積函數(shù)在所討論積分域上空間圖形的對稱性。

例1.設(shè)D是平面xOy上以（1，1），（-1，1）和（-1，-1）為頂點的三角形區(qū)域，D1是D在第一象限的部分，（xy+cosxsiny）等于（? ）.

A.xydxdy

C（xy+cosxsiny）dxdy D.0

解：積分區(qū)域D關(guān)于x軸、y軸都不對稱，而被積函數(shù)卻有奇偶性，因而用y=-x以及坐標(biāo)軸將D分為四部分D1，D2，D3，D4。其中D3和D4關(guān)于x軸對稱，而xy+cosxsiny關(guān)于y為奇函數(shù)，

（xy+cosxsiny）dxdy=0.

又D1與D2關(guān)于y軸對稱，而xy與cosxsiny分別關(guān)于x為奇函數(shù)，偶函數(shù)，sxsinydxdy

xsiny）dxdy=

選A.

例2.

解：積分區(qū)域D分成四個相等的子域D1，D2，D3，D4，積分區(qū)域既關(guān)于x軸對稱，又關(guān)于y軸對稱，且被積函數(shù)xy為偶函數(shù)，故

二、三重積分的對稱性定理

（一）若積分域Ω關(guān)于xOy面對稱，而Ω1是Ω中對應(yīng)于z≥0的部分，則

x? 若積分域Ω關(guān)于xOz面或yOz面對稱時，也有類似的結(jié)論。

（二）若積分域Ω關(guān)于xOy面和xOz面均對稱，而Ω1是Ω中對應(yīng)于z≥0，y≥0的部分，則

x，y，z）dv，當(dāng)f關(guān)于y，z均為偶函數(shù)。0，當(dāng)f關(guān)于y或z為奇函數(shù)。

若積分域Ω關(guān)于xOz面和yOz面，或關(guān)于xOy面和yOz面均對稱時，也有類似的結(jié)論。

（三）若積分域Ω關(guān)于三個坐標(biāo)面均對稱，而Ω1是Ω中位于第一卦限的部分，則

x，y，z）dv，當(dāng)f關(guān)于x，y，z均為偶函數(shù)。0，當(dāng)f關(guān)于x或y或z為奇函數(shù)。

例3.求I=.

解：由于Ω關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，且xy，yz分別是x，y，z的奇函數(shù)，所以I=0.

綜上所述，二重積分、三重積分的計算，除了傳統(tǒng)方法外，還需要有對稱性的使用意識，善于將積分區(qū)域進行劃分，變不對稱為對稱，并利用可加性將被積函數(shù)進行合理的組合、搭配，利用奇偶對稱性，使計算量大大減少，以快速解題。

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].6版.高等教育出版社，2007.

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