抓事物本質 促思維素質
——例談復數在解題中的應用

◎王愛華

我們知道在數學解題中，揭示知識點的本質，題目的特征、結構等，是解題的一個關鍵，如：復數，就其本質來說，它是在實數的基礎上擴充而來，任意復數，無論是由實部與虛部兩部分組成的，還是由模與幅角相結合的，都是由一對實數確定，就其表現形式，可用復平面上的點、復平面上的向量來表示，它們之間不僅存在對應關系，且可相互轉化，有著豐富的內涵。只要充分認識復數的本質，在復數集內就可化“實”為“虛”，“虛”中求“實”。因此，“虛”“實”互求，既相對，又相輔。今略舉幾例說明之。

一、在求三角函數值中的應用

【例】已知 α、β、γ是公差為2π/3的等差數列，求 sinα+sinβ+sinγ與 cosα+cosβ+cosγ的值。

分析：α、β、γ之間的關系為 β=α+2π/3，γ=β+2π/3=α+4π/3，而所求式子為三個角的同名函數之和，由此，啟發我們運用復數三角式的加法與乘法來處理比較好。

解：設 Z1=cosα+isinα，則

點評：這里應用了復數三角式化簡角呈規律性變化的兩弦函數和的式子這一本質特征，很湊效，它能把正弦函數和的值以及余弦函數和的值同時求出。

二、在證明不等式中的應用

【例】a、b、c∈R，且 a+b+c＞0，

分析：由題目結構特征，聯想到復數模，再聯想到復數不等式，通過模的運算及復數不等式得證。

點評：由于題目的特征、結構，引入復數的模及復數不等式（實質上是一個實數不等式），應用了復數的模的本質特征，使得一個較繁的無理不等式化繁為簡。

三、在求軌跡方程中的應用

【例】在拋物線y=x2上有一個動點P，以OP為一邊，按逆時針方向作正ΔOPQ，求此三角形中的心G的軌跡方程。

分析：這是一個線段旋轉問題，OG可視為OP旋轉，并按比例縮短而得，從而聯想到復數乘法的幾何意義，再通過復數相等找到了第一動點與第二動點的關系，問題得以解決。

解：建立直角坐標系如圖，設 G（x，y），P（x′y′）在復平面上作向量，則按逆時針方向轉30°，模縮為原來的即得到，兩者的對應復數有關系式

代入點P滿足的方程y=x2化簡即得點G的軌跡方程為：9x2+6。

點評：這是一個旋轉問題，一般來說，緊扣復數乘法的幾何意義和復數相等的充要條件可“實”“虛”互化這一本質特征，就便于解決問題。

四、在證明三角恒等式中的應用

【例】求證：

點評：這里通過觀察思考題目的結構特征，充分應用了復數運算和復數相等的本質特征。

五、在求反三角函數值中的應用

分析：實質上這是一個實數問題，但實數包含于復數，且題中所含的量在復數中具有輻角主值的意義，數學中用構造某些復數，使其輻角成為所求式子中的角度，從而通過復數運算性質而求角。

點評：構造復數使它們的輻角分別為組成題中的各角，應用了復數運算的本質特征，從而化“實”為“虛”去解題，再從“虛”中求“實”求得輻角。

關于復數在解題中的應用題很多，以上只舉了其中常見的幾種，以說明抓住事物的本質，去解決矛盾這一觀點。筆者認為，在教學中，不論傳授知識、還是傳授方法、培養能力等方面，只要堅持這一辨證的觀點，不僅有利益提高教育教學質量，而且在培養學生思維素質方面都進入了更深一個層次，無疑對提高學生的數學素質起著重要的促進作用。