巧用斜率求參數(shù)的范圍

◎朱帥

例1：［2014·山東理20］設(shè)函數(shù)（k為常數(shù)，e=2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）當(dāng) k≤0時(shí)，求函數(shù) f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù) f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求 k的取值范圍.

解析：本題問(wèn)題（2）要求k的取值范圍，我們可以用斜率來(lái)解決問(wèn)題：

若函數(shù) f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程 f′（x）=0在（0，2）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∵x∈（0，2），∴x3＞0，x-2＜0，所以f′（x）=0等價(jià)于ex-kx=0，

從而方程ex-kx=0在（0，2）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。∴表示函數(shù)y=ex在x∈（0，2）內(nèi)圖像上的點(diǎn)P（x，ex）與坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）的連線l的斜率，由圖（1）知，l介于切線l1與割線l2之間，從而k介于切線k1與割線k2之間.

設(shè)切點(diǎn)為 （x0，y0），則 y′=ex，所以 k1=ex0，

例2：［2016·廣州二模理21］已知函數(shù) f（x）=e-x-ax（x∈ R）.

（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；

（Ⅱ）若x≥0時(shí)，f（-x）+ln（x+1）≥1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）求證：.

解析：本題問(wèn)題（2）求a的取值范圍，我們可以用斜率來(lái)解決問(wèn)題：

依題意，x≥0時(shí)，即 f（-x）+ln（x+1）≥1即 ex+ax+ln（x+1）-1≥0.

∴ ax≥1-ex-ln（x+1）

當(dāng)x=0時(shí)，上式恒成立，此時(shí)a∈R

令，則k表示函數(shù)

g（x）=ex+ln（x+1）-1圖像上的點(diǎn)

P（x，ex+ln（x+1）-1）（x∈（0，+∞））與坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）的連線l的斜率，由圖（2）知，l介于切線 l1與 y軸之間，因?yàn)?g′（x）=ex+，∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）遞增且遞增速度越來(lái)越快，又g（x）過(guò)原點(diǎn) O（0，0），∴ k＞g′（0） =2，即，

從而a≥-2，綜上所述，a∈［-2，+∞）

例3：［2016·湛江一模理21］設(shè)函數(shù) f（x）=（ax+1）e-x（a∈ R）.

（I）當(dāng) a＞0時(shí)，求 f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（II）對(duì)任意 x∈［0，+∞），f（x）≤x+1恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍

解析：本題問(wèn)題（2）求a的取值范圍，我們可以用斜率來(lái)解決問(wèn)題：

f（x）=（ax+1）e-x≤x+1恒成立，x∈［0，+∞）

當(dāng)x=0時(shí)，上式恒成立，此時(shí)a∈R

則 k表示函數(shù)g（x）=ex（x+1）-1圖像上的點(diǎn)P（x，ex（x+1）-1）（x∈（0，+∞））與坐標(biāo)原點(diǎn) O（0，0）的連線l的斜率，由圖（3）知，l介于切線 l1與 y軸之間。因?yàn)?g′（x）=（x+2）ex，∴函數(shù) g（x）在 （0，+∞）遞增且遞增速度越來(lái)越快，又g（x）過(guò)原點(diǎn)O（0，0），∴ k＞g′（0）=2，即，從而a≤2，綜上所述，a∈（-∞，2］

點(diǎn)評(píng)：例1—例3中解法，不僅省去了復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程，而且它的原理更貼近初等數(shù)學(xué)，學(xué)生也非常容易掌握.在高中數(shù)學(xué)中，有關(guān)函數(shù)的證明題，學(xué)生大都會(huì)首先想到構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明.經(jīng)過(guò)多年的解題訓(xùn)練，很多學(xué)生都形成了慣性思維，很難再有新的突破.但如果我們認(rèn)真觀察，用心去想，很多問(wèn)題是可以跳出慣性的約束，另外一種再平凡不過(guò)的方法或許會(huì)讓我們柳暗花明.特別是高等數(shù)學(xué)的方法用之于初等數(shù)學(xué)時(shí)，一定要抓住實(shí)質(zhì).導(dǎo)數(shù)離散化之后就是斜率，從這個(gè)意義上講，斜率更具有根本意義，而且在高中數(shù)學(xué)中斜率還是一個(gè)核心概念.

構(gòu)造斜率只是解決恒成立問(wèn)題中求參數(shù)的取值范圍的一種方法，并非適用于所有的問(wèn)題，但是如果條件適合，構(gòu)造斜率往往能讓我們變抽象為直觀，減少分類討論的麻煩，甚至簡(jiǎn)化許多繁瑣的計(jì)算，達(dá)到事半功倍的效果。

［1］ 劉有良.構(gòu)造解析幾何模型解代數(shù)問(wèn)題［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.2002，11（下），50-51.