數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)中的應(yīng)用

【摘要】函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，對整個數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)來說影響深遠(yuǎn)。利用數(shù)形結(jié)合思想學(xué)習(xí)函數(shù)時可以達(dá)到既直觀又方便的效果，從而增強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)知識的理解以及圖形思維和邏輯思維的能力。本文首先闡述了數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的背景與意義，然后通過解題實(shí)例，對數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)中的應(yīng)用進(jìn)行了探討，希望可以為學(xué)生以后分析問題提供新的思路。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 中學(xué)數(shù)學(xué) 函數(shù) 應(yīng)用

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）24-0127-02

數(shù)形結(jié)合思想是一種綜合運(yùn)用的思維方式，是溝通數(shù)字和圖形內(nèi)在聯(lián)系的重要橋梁。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾寫過一首小詞：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微。”生動地揭示了數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)。通過轉(zhuǎn)換和分類等數(shù)形結(jié)合的方式來分析函數(shù)問題時，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，達(dá)到既直觀又方便的效果，從而增強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)知識的理解以及圖形思維和邏輯思維的能力。

一、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的背景與意義

根據(jù)對江西省高考理科數(shù)學(xué)卷的統(tǒng)計，2015年與數(shù)形結(jié)合相關(guān)的題目有10個、總計63分，占比41%；2015年有10個、總計61分，占比40%；2016年為9個、總計58分、占比39%，從這些數(shù)據(jù)不難看出數(shù)形結(jié)合在歷年高考中都是重點(diǎn)考察的對象，在中學(xué)數(shù)學(xué)中具有重要的地位。數(shù)形結(jié)合思想對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的具體好處表現(xiàn)在以下四個方面：其一，能夠更好地幫助學(xué)生理解與記憶基礎(chǔ)理論性知識。其二，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維能力，加快解題速度。其三，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，從而增強(qiáng)其解題的應(yīng)變能力。其四，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，更好地挖掘自身潛質(zhì)。因此，數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)的不可或缺的重要方法。

二、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)的圖像是函數(shù)關(guān)系的一種表示，它能夠直觀地揭示函數(shù)的性質(zhì)，憑借形狀來描述函數(shù)的變化規(guī)律。其實(shí)函數(shù)的圖像與解析式在本質(zhì)上是相同的，在解決問題時應(yīng)當(dāng)學(xué)會互相轉(zhuǎn)化，特別是在解答比較復(fù)雜的題型時應(yīng)充分利用函數(shù)圖像的直觀性。

（一）數(shù)形結(jié)合思想在解函數(shù)定義域問題中的應(yīng)用

例1 求函數(shù)y=的定義域

解：要求得該函數(shù)的定義域，需滿足，解答這類不等式的解集問題，可以根據(jù)不等式畫出圖形，如下圖所示：

觀察上圖可以發(fā)現(xiàn)，要滿足x2-3x+2≥0，只需x≤1，或x≥2，再由x≠0，就可以求出定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，1]∪[2，+∞）。

所以，學(xué)生根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出圖形，就能輕易地觀察到到函數(shù)的走向和趨勢，將題目與直白的圖形結(jié)合起來，答案便呼之欲出了。

（二）數(shù)形結(jié)合思想在求函數(shù)最值中的應(yīng)用

最值問題，指的是求某個代數(shù)式或函數(shù)的最大值或最小值，部分題型能夠利用重要不等式相關(guān)知識直接解答，但有時候用起來相當(dāng)繁瑣，并且計算量十分大。在這種情況下，如果我們換一種方式來分析問題，比如分析一下這些式子的幾何意義，再挖掘出式子中隱藏的幾何圖形，并結(jié)合幾何知識來計算函數(shù)的最大值或最小值，問題就會變得簡單得多。

1.轉(zhuǎn)化成直線斜率公式求最值

例1 假設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足等式（x-2）2+y2=3，問y/x的最大值是多少？

解：由等式（x-2）2+y2=3可以看出其幾何意義，它表示以坐標(biāo)（2，0）為圓心，根號3為半徑的圓形，如上圖所示。y/x實(shí)際上是圓上的點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)（0，0）之間連線的斜率。因此，該問題可以轉(zhuǎn)化成一個幾何題目，即點(diǎn)Q在以坐標(biāo)（2，0）為圓心、根號3為半徑的圓上運(yùn)動，問直線OQ的斜率最大是多少？分析圖形可知，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限與圓相切的時候，OQ斜率達(dá)到最大，答案是tan 60°等于根號3。

2.轉(zhuǎn)化成圓錐曲線定義求最值

例2 如果|x+3+y|+|x-3+y|=10，那么|4x+5y|的最值為多少？

解：首先假設(shè)Q=x+y，我們可以把這樣的式子轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)式，這樣很容易理解Q點(diǎn)的運(yùn)動軌跡相當(dāng)于一條圓錐曲線，借用其參數(shù)表達(dá)式將題目簡單化可得{4x+5y}max等于20，{4x+5y}min等于-20。

3.轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間距離求最值

例3 函數(shù)y=的最小值是多少？

解：這題以代數(shù)的角度切入容易走進(jìn)死胡同，如果以數(shù)形結(jié)合的思想將題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以借用兩點(diǎn)間距離成，如下圖所示：

題目變成了在x軸上求點(diǎn)P，使得|PA|+|PB|的值有最小。因?yàn)榫€段AB同在x軸的一邊，所以取點(diǎn)A以x軸為參照的對稱點(diǎn)C（0，1），然后可以得到（|PA|+|PB|）的最小值等于（2-

0）2與（2+1）2的和的平方根，答案是根號13。

（三）數(shù)形結(jié)合思想在考察函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用

例1 函數(shù)y=-xcosx的部分圖像是（ ）。

解：本題是需要指出函數(shù)y=-xcosx的部分圖像，通過對函數(shù)的性質(zhì)的思考，容易得知函數(shù)y=-xcosx是一個奇函數(shù)，由奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱的特點(diǎn)可以首先排除A和C兩項，令x=1<π/2時，y=-1cos1=-cos1<0，點(diǎn)（1，-cos1）在第四象限，排除B后得出正確答案是D。

例2 假設(shè)y=f（x）為定義在Q上的奇函數(shù)，并且y=f（x）的圖像以直線x=1/2為參照對稱，那么f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）的值是多少？

解：因?yàn)閥=f（x）不能夠確定，所以f（x）的函數(shù)值很難直接算出來。但是通過數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，就比較簡單了。從題目可推出f（0）=0，再加上y=f（x）的圖形以直線x=1/2為參照對稱，所以f（1）=0，由奇函數(shù)可以推出，f（-1）=0，再從對稱性可以得到：f（2）=0，以此類推，f（3）=f（4）=f（5）=0，所以答案就是相加結(jié)果為零。

（四）在解函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)中的應(yīng)用

例1 假設(shè)函數(shù)f（X）（x∈R）滿足f（-x）=f（x），f（x）=

f（2-x），且當(dāng)x∈[0，1]時f（x）=x3。函數(shù)g（x）=|xcos（πx）|，

問函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）在[-1/2，3/2]區(qū)間零點(diǎn)的個數(shù)是多少？

解：由題干可知f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（2-x）=f（x-2），因此f（x）是以2為周期的循環(huán)函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，如圖所示兩者有六個交點(diǎn)，所以答案為6。

三、結(jié)語

數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)解題的重要思想方法，在歷年高考中都是重點(diǎn)考察的對象。它可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維、發(fā)散性思維以及創(chuàng)造性思維，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，這種以學(xué)生為主體的教學(xué)方法將使學(xué)生從長遠(yuǎn)上獲得益處。最后，如何將數(shù)形結(jié)合思想更好地運(yùn)用于教學(xué)，還需要我們進(jìn)行更多地探索。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：

呂銀堂1965.10男，漢族，湖北省監(jiān)利縣，大學(xué)學(xué)歷，中教一級，工作單位，湖北省監(jiān)利縣新溝中學(xué)。