數(shù)字圖像放大分?jǐn)?shù)階偏微分方程方法

楊 艷，郭琳琴

(呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 山西 呂梁 033000)

偏微分方程應(yīng)用于圖像處理過程是將問題轉(zhuǎn)化為能量泛函的優(yōu)化問題，它應(yīng)用變分法得到二維拋物型偏微分方程，然后應(yīng)用偏微分方程的數(shù)值方法求解圖像問題。文獻(xiàn)[1-2]給出圖像放大模型的能量泛函式：

其中:u表示放大后的圖像；u0表示在原圖的基礎(chǔ)上用簡單插值方法得到的圖像；Ω表示圖像的緊支撐域。第1項(xiàng)稱為正則項(xiàng)(或平滑項(xiàng))，起到消除圖像灰度不連續(xù)的作用，第2項(xiàng)為保真項(xiàng)，起到保持邊緣信息的作用。λ為正常數(shù)，稱為正則化參數(shù)，它通過反復(fù)試驗(yàn)人為選定，用來平衡上述兩項(xiàng)[1]。然而，在圖像處理的實(shí)際應(yīng)用中這種模型會(huì)出現(xiàn)“鋸齒現(xiàn)象”[1]。

分?jǐn)?shù)階微分算子被廣泛應(yīng)用于實(shí)際研究中，其理論方法是將整數(shù)階微分算子中的1階導(dǎo)數(shù)、2階導(dǎo)數(shù)改為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，得到的結(jié)果比整數(shù)階更貼近實(shí)際結(jié)果。采用同樣的思路，將微分方程處理圖像問題的能量泛函式中的整數(shù)階微分算子改為分?jǐn)?shù)階微分算子。文獻(xiàn)[3]中能量泛函式如下：

其中χΩ1是Ω1上的特征函數(shù)。文獻(xiàn)[1]中能量泛函式改進(jìn)為：

將圖像放大問題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)階微分方程后，需考慮如何提高計(jì)算速度，得到更高收斂階的算法。而一般高收斂階的分?jǐn)?shù)差分方法的邊界條件需為零[4]，顯然一般的圖像不具備這樣的條件。

本文提出改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階圖像放大模型，將能量泛函式中的導(dǎo)數(shù)改為α(1<α<2)階Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，并用一種收斂階為3-α的差分格式對其進(jìn)行逼近求解，該方法對非零的邊界條件也有效。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該方法能較好地保留圖像的邊緣特征和細(xì)節(jié)信息，同時(shí)運(yùn)算時(shí)間較短，是一種有效、可行的圖像放大算法。

1 相關(guān)理論

1.1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)目前有3種經(jīng)典定義：Riemann-Liouville(R-L)、Capotu(C)和Grumwald-Letnikov(G-L)，其中 R-L分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為：在有限區(qū)間[a,b]，

(1)

(2)

(3)

為α階Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[2]。

1.2 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的差分格式

當(dāng)1<α≤2時(shí)，Riemann-Liouvill分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)能寫成Hadamard有限積分部分，

(4)

(5)

(6)

定理1 當(dāng)1<α≤2時(shí)，假設(shè)u∈C3[a,b]，令xm=a+mh，其中h=(b-a)/M，則

(7)

當(dāng)m=2或m-M=-2時(shí)，

當(dāng)m≥3且-M+m≤-3時(shí)，

(8)

(9)

Qi=φi(i-2,i)-φi-1(i-2,i)

(10)

(11)

φi(a,b)=α(α-1)i2-α+α(2-α)(a+b)i1-α+(2-α)(1-α)abi-α

(12)

此時(shí)g(w)=g2(w)+O(h3)。

另一方面，式(6)中，第1個(gè)區(qū)間包含w=w0=0的奇異點(diǎn)，需用Hadamard有限積分式(5)計(jì)算，其他區(qū)間為正常積分[4]。當(dāng)j=2,3,…，m時(shí)，

由式(9)～(12)符號的引入，得

(13)

類似地，當(dāng)j=1時(shí)，由式(5)得

(14)

將式(13)～(14)代入式(6)整理得

(15)

其中：

(16)

同理可得，

帶狀皰疹后遺神經(jīng)痛（Postherpetic Neuralgia，PHN）是帶狀皰疹（Herpes Zoster）最常見的并發(fā)癥，指帶狀皰疹皮損愈合后疼痛持續(xù)超過1月者，好發(fā)于體質(zhì)虛弱者和老年人[1] 。該病以劇烈的燒灼樣、電擊樣、撕裂樣疼痛為臨床特征，纏綿難愈，嚴(yán)重?fù)p害患者的情感、睡眠和生命質(zhì)量[2] 。其治療方法較多，但治愈率低。筆者采用針刺配合熱敏灸治療PHN42例，取得較好療效，現(xiàn)報(bào)道如下。

(17)

綜合式(15)～(17)，結(jié)論成立。

由定理1得分?jǐn)?shù)階Riesz導(dǎo)數(shù)的近似算法為

(18)

2 基于分?jǐn)?shù)階的圖像放大算法

2.1 模型的建立

文獻(xiàn)[1]中引入如下能量泛函式：

利用變分法推得的該泛函歐拉-拉格朗日方程如下：

其中：

則有如下結(jié)果：

(19)

(20)

(21)

利用梯度下降法得到相應(yīng)的擴(kuò)散方程為

(22)

(23)

右端項(xiàng)中分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)使用式(7)～(12)和(18)離散，其中空間步長h=1。

2.2 模型的算法

第2步利用式(22)對u0進(jìn)行修正。考慮到灰度值屬于整數(shù)集，而式(18)中wj<10-2(|j|>2)，將式(22)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)只用自身與其左右各兩項(xiàng)共5項(xiàng)的線性組合逼近，即將式(18)改為

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)中選取240像素×240像素大小的灰度圖進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。為了測試算法的有效性，首先將原始圖像縮小1/2作為縮小采樣，然后采用三次樣條插值方法將其放大，最后采用本文算法對該放大結(jié)果進(jìn)行修正。實(shí)驗(yàn)中的離散化參數(shù)選取如下：λ=0.5，h=1，Δt=0.05，α=1.7，迭代20次。

圖1 圖像放大實(shí)驗(yàn)結(jié)果

選擇算法峰值信噪比PSNR本文算法結(jié)果40.370 9文獻(xiàn)[1]算法結(jié)果39.125 0

從圖1的圖像放大實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見，本文和文獻(xiàn)[1]的算法均保留了原圖像的特征，在視覺上有較好的效果，但區(qū)別不明顯。從表1的圖像放大結(jié)果的峰值信噪比可見，本文算法結(jié)果更接近于原圖，優(yōu)于文獻(xiàn)[1]的算法結(jié)果。

為了進(jìn)一步對本文算法和文獻(xiàn)[1]算法進(jìn)行比較，分別選取原始圖像、文獻(xiàn)[1]放大結(jié)果圖像和本文放大結(jié)果圖像的第50行，對其灰度值曲線進(jìn)行比較，所得結(jié)果如圖2所示。

圖2 圖像放大前后第50行灰度曲線比較

通過對圖2(a)和(b)進(jìn)行比較可以看出：本文算法有較好的整體效果，雖然放大結(jié)果相比原圖略有平滑，但較文獻(xiàn)[1]的算法在細(xì)節(jié)、邊緣方面的清晰度都有明顯改善，更好地保留了原始圖像的邊緣銳度和紋理特征。

4 結(jié)束語

本文提出了一種改進(jìn)的基于分?jǐn)?shù)階偏微分方程的圖像放大模型，在模型中使用收斂階為3-α的差分格式對α階Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行逼近求解。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明：該算法能較好地保留圖像的邊緣信息和紋理特征，得到較為清晰、更接近原始圖像的放大結(jié)果，是一種可行的數(shù)字圖像放大算法模型。在實(shí)驗(yàn)中用到的參數(shù)為多次實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)值，如何確定較好的參數(shù)以保證較好的放大效果有待進(jìn)一步研究。

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