一類SEIR流行病模型的全局穩定性分析

趙亞飛，蘇 強，呂貴臣

(重慶理工大學 理學院， 重慶 400054)

全局穩定性問題是傳染病動力學研究中的重要課題。對于傳染病動力學模型全局穩定性的研究主要有2種方法：一是Lyapunov-LaSalle穩定性定理[1]; 二是Li-Muldowney幾何方法[2-4]。Lyapunov-LaSalle穩定性定理主要是通過構造Lyapunov函數,利用Poincaré-Bendixson定理、Lyapunov-LaSalle穩定性定理等來研究平衡點的穩定性。郭麗娜等[5]通過構造Lyapunov函數，利用LaSalle不變性原理研究了平衡點的全局穩定性。陳永雪[6]通過構造Lyapunov函數，利用Poincaré-Bendixson定理、Lyapunov穩定性定理的LaSalle不變性原理研究了模型的全局動力學行為。馬明菊等[7]利用Hurwitz判據判斷了平衡點的局部穩定性，然后通過構造Lyapunov函數，利用LaSalle不變性原理研究了平衡點的全局穩定性。郭樹敏等[8]通過構造Lyapunov函數，利用Lyapunov穩定性定理LaSalle的不變性原理研究了無病平衡點的全局穩定性，并構造Dulac函數，利用Poincaré-Bendixson定理驗證系統是否存在周期解，從而研究全系統的穩定性等。其他相關文獻見文獻[9-12]。

構造Lyapunov函數往往比較困難。因此，Li-Muldowney基于高維Bendixson判據提出了全局穩定性判定的幾何方法。利用該方法，Iwami等[13-14]研究了一類禽-人SI-SIR流行病模型的全局穩定性；茍清明等[15]研究了帶有垂直傳染和接種疫苗SEIRS流行病模型的全局穩定性；Chen等[16]考慮了H7N9病毒在人類中發生突變的禽流感模型的全局穩定性。此外，Lu等[17]利用Li-Muldowney幾何方法研究了一類三維Lotka-Volterra系統的全局穩定性；Lu等[18]分析了一類具有Gompertz增長的三維競爭模型的全局穩定性；文獻[19]借助于時間平均性質，在Li-Muldowney基礎上，提出了全局穩定性判定的新方法。

本文主要考慮如下具有常數移民的SEIR流行病模型：

(1)

其中：S(t)、E(t)、I(t)、R(t)分別表示易感染者、潛伏者、受感染者和移除者在t時刻的數量；N(t)表示t時刻的總數量，記N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)；μ表示自然死亡率；γ0表示潛伏者和受感染者之間的轉移率；常數k0表示移除率；β10、β20、β30分別表示潛伏者、受感染者和移除者的有效接觸率；(1-p)A和pA分別表示易感染者和潛伏者的常數輸入。

(2)

若令x=1-Y-Z-R1,y=Y,z=Z,則可得系統 (2)的極限系統為：

(3)

其中β2>β3。

李桂花等[20]通過對模型(3)的全局穩定性的詳盡的分析得到：

定理1 如果R0>1,β1>β3且cβ1(1-p)<1-γ，cβ3(1-p)<1+p，則系統(3)唯一的地方病平衡點E*是全局漸近穩定的。

1 預備知識

考慮微分方程

(4)

其中B=PfP-1+PJ[2]P-1，矩陣Pf為

此外，呂貴臣等[18]基于時間平均性質，對定理1做了推廣，得到了如下結論：

其中

2 全局穩定性分析

本節將借助已提出的全局穩定性方法改進已有的結果。應用定理3得到如下結果：

定理4 如果R0>1,β1>β3且cβ1(1-p)<1,則系統(3)唯一的地方病平衡點E*是全局漸近穩定的。

證明簡單計算得系統(3)的雅可比矩陣J為

其中：

j11=-1+cβ3x-c[β1y+β2z+β3(1-x-y-z)]

j22=-cβ3x+c[β1y+β2z+β3(1-x-y-z)]

可得其2階可加性復合矩陣J[2]為

其中：

J11=c(β1-β3)x-γ-2+cβ3x-

c[β1y+β2z+β3(1-x-y-z)]

J22=-2+cβ3x-c[β1y+β2z+

β3(1-x-y-z)]-k

J32=-cβ3x+c[β1y+β2z+β3(1-x-y-z)]

J33=c(β1-β3)x-γ-2-k

其中：

c[β1y+β2z+β3(1-x-y-z)]

c[β1y+β2z+β3(1-x-y-z)]

又由系統(3)可得：

x<1-p

則有：

β3(1-x-y-z)]+cβ1x<

β3(1-x-y-z)]+cβ1(1-p)<

此時：

由定理3可得,系統(3)是全局漸近穩定的。

3 結束語

本文主要考慮了具有常數移民的SEIR流行病模型。研究的主要目的在于弱化地方病平衡點全局穩定性的條件。利用全局穩定性判別的新方法改進了文獻[20]中關于地方病平衡點全局穩定的結果。

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