兩階段Logit廣義估計方程的漸近性質

陳顯彬,林 松,尹長明

(廣西大學 數學與信息科學學院， 南寧 530004)

1 背景和主要結果

廣義估計方程是對縱向數據進行回歸分析的一類重要方法，由Liang等[1]于1986年對廣義線性模型推廣而得到。1983年，McCullagh等[2]出版了專著來系統地論述廣義線性模型。對于自然聯系函數的情況，極大似然估計的弱相合性和漸近正態性的條件在文獻[3-5]中都有列出。特別關于Logit模型的條件，文獻[6-8]也給出了論述。對于非自然聯系函數，文獻[9]給出了相應的漸近結果，但沒有嚴格的假設和條件，而文獻[10]則需要非常強的條件。由于之前研究存在一定的局限性，1985年L.Fahrmeir和H.Kaufmann發表了文獻[11]，論述了極大似然估計的漸近性質；1986年，兩人在文獻[12]中具體分析了離散相應變量的漸近推斷，又豐富了廣義線性模型的相關理論。

本文設在試驗中對第i個個體的第j次觀測得到q×1維響應變量Yij，pn×q維協變量Xij，i=1,…,n,j=1,…,m。設來自不同個體的觀測值相互獨立，來自相同個體觀測值則是相關的，但相關系數未知。令Yij=(Yij1,…,Yijq)T的期望為

(1)

(2)

方差記為

(3)

(4)

若Yij服從三項分布(觀測次數是1)，即q=2,期望

(5)

(6)

就得到兩步Logit模型[13-14]。

Wang[15]在一定條件下證明了經典Logit廣義估計方程

(7)

對兩階段Logit模型，假設以下條件成立：

(8)

2 定理1的證明

為了證明定理1，需要以下引理：

下面4個引理的證明分別與文獻[4]引理3.1、3.3、3.4、3.5類似，故在此省略。

引理2 若假設條件①～⑤成立，則

引理3 若假設條件①～⑤成立，則?Δ>0，an,bn∈Rpn，有

引理4 若假設條件①～⑤成立，則?Δ>0，an,bn∈Rpn，有

引理5 若假設條件①～⑤成立，則?Δ>0，an,bn∈Rpn，有

定理1的證明

根據引理1，證明方程Sn(βn)=0根的存在性且式(8)成立，只需證明?ε>0，存在一個Δ>0，對足夠大的n有如下式子成立：

(9)

由微分中值定理,

(10)

(11)

(12)

其中εi(βn)=Yi-hi(βn)。所以

(13)

由引理2和假設⑤得

(14)

(15)

由引理3和假設⑤得:

(16)

(17)

由引理4和引理5及假設⑤得：

(18)

由假設②～④可得

(19)

由式(16)～(19)知In2≤-CΔ2pn，再由式(13)和(14)知|In1|=ΔOp(pn)，可見當Δ足夠大時式(8)(9)成立。

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