探究圖形位置，巧求線段最值

江蘇省張家港市合興初級中學 王 偉

學生們要清楚地知道線段的最值問題是求線段長度的最大值或者最小值、線段和或差的最大值或者最小值。這些問題往往取材于線段、三角形、四邊形等基本圖形，經(jīng)常與函數(shù)問題相結(jié)合，運用兩點之間線段最短、垂線段最短、三角形兩邊之和(或差)大于(或小于)第三邊、函數(shù)的最大值或最小值等來結(jié)合運算。教師在實際的教學過程中要不斷地灌輸解題策略，促進學生們的解題能力產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。

一、巧構(gòu)三角，求不定線段最大值

學生們要知道求解不定線段最值的方法，這其中構(gòu)造三角形的方法可謂是化解難題的一把金鑰匙！既然要構(gòu)造三角形，那么就需要知曉在求線段最值下三角的定義。如果PA、PB是兩條定長線段，AB是一條不定的線段，根據(jù)三角形三邊關(guān)系號當且僅當P、A、B三點一線時成立)，由此就能求得不定線段AB的最大值或最小值。

例1：如圖所示，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，點A、C分別在x軸、y軸正半軸上。當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，求點B到原點的最大和最小距離。

解析：根據(jù)題意，可取AC中點D，連接BD、OD，那么BD、OD為定長線段。 當點B在第一象限，且B、O、D三點共線時，最大值當點B在第三象限，B、O、D三點共線時，最小值

點撥：此題主要考查了兩點間的距離以及勾股定理的應用，本題的難度較大，難點和關(guān)鍵在于找到定長的兩條線段。這時要求學生能根據(jù)題意，結(jié)合圖形特征與性質(zhì)去突破。需要注意的是，在此過程中，學生要明確斜邊一定的直角三角形的斜邊中線為定值，兩平行線間的距離為定值等。細分析，巧添加適當?shù)妮o助線來幫助解題。開闊自己的思維，讓成績產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。

二、垂線段最短，巧求線段的最值

此前，學生已經(jīng)掌握了“兩點之間線段最短”，最短距離為“點點距”等定理，其中，“點點距”指的就是點到點的距離；而“垂線段最短”，最短距離為“點線距”，指的是直線外一點到直線的距離。在初中數(shù)學中，過兩點有且只有一條直線。綜合以上，在求線段最值的時候，學生們要找到最值的節(jié)點，利用好“垂線段最短”這個定理，巧妙地化解難題。

例2：如圖所示，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與CA、CB分別相交于點P、Q，則線段PQ長度的最小值是多少？

解析：根據(jù)題意，我們可以知道AB=10，AC=8，BC=6，于是AB2=AC2+BC2，∠ACB=90°，故PQ是⊙F的直徑，設(shè)QP的中點為F，圓F與AB的切點為D，連接FD，連接CF，CD，則FD⊥AB，F(xiàn)C+FD=PQ，所以CF+FD＞CD，點F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時，PQ=CD有最小值，因此有CD=BC，PQmin=4.8。

點撥：本題利用了切線的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、三角形的三邊關(guān)系、直角三角形的面積公式等定理求解?！按咕€段最短”是求線段最值的解題關(guān)鍵，與此同時，運用動態(tài)的觀點，結(jié)合圖形性質(zhì)，多數(shù)情況下要構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)靈活解決問題。

三、創(chuàng)建函數(shù)模型，求線段最值

在初中數(shù)學中，函數(shù)的數(shù)學思想占據(jù)著大量的篇幅，合理地建立函數(shù)模型將幫助學生們打開思維之門，因此，教師在教學的過程中就要不斷地灌輸，在解題與函數(shù)思想之間架設(shè)好橋梁。下面我將引領(lǐng)學生們從函數(shù)的模型角度去分析如何求解線段的最值，學生們要明確一些動態(tài)問題的兩個變量之間存在著某種函數(shù)關(guān)系。由此，學生建立函數(shù)關(guān)系式，在自變量取值范圍內(nèi)利用函數(shù)性質(zhì)求線段最值，這樣便能巧妙運用數(shù)形結(jié)合思想，讓解題更加清晰明了。

例3：如圖所示，在△ABC中，AB=AC=10， 點D是 邊BC上一動點(不與B、C重合)，∠ADE=∠B=α，DE交AC于點E，且求CE的最大值。

解析：由題意可以作AG⊥BC于G，如圖所示，因為AB=AC，所以BG=CG，又∠ADE=∠B=α，故BC=2BG=16，設(shè)BD=x，則CD=16-x，于是α+∠CDE=∠B+∠BAD，故∠CDE=∠BAD，而∠B=∠C，那么△ABD∽△DCE，因此當x=8時，CE最大，最大值為6.4。

點撥：在本道題中沒有大量的計算，都是在三角形中進行轉(zhuǎn)化，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，運用三角形的判定和性質(zhì)以及三角函數(shù)求邊長等。同時運用了數(shù)形結(jié)合，把幾何問題代數(shù)化，簡化問題。學會利用“三角函數(shù)”的性質(zhì)，將知識點進行轉(zhuǎn)化，在問與答之間架設(shè)好橋梁，這也方便了學生解題，接受新的知識，做題也更加輕松，遇到難題也知道如何解決。

通過上述例題的講解，學生們應該知道了線段的最值問題需要在動態(tài)情形中對圖形特殊位置做出深入的探索。當然也需要教師不斷去摸索，總結(jié)出經(jīng)驗，及時穿插到教學中，把正確的解題思路分享給學生，而學生們要想掌握線段最值問題的常用方法，就需要不斷地練習，找尋到問題的關(guān)鍵所在，才能解決根本問題，才能突破自己，收獲到事半功倍的效果。