對圓錐曲線中的一個定值問題的探究

河北省邯鄲市第一中學 馮競超

圓錐曲線是高中數學的一個重要內容， 綜合程度高、思維量大，但是任何一個綜合性問題都是由一些基本問題組合而成的，破解這類問題的關鍵是將其分解，從這些基本問題出發，然后進行突破。本文對邯鄲市2017屆高三質量監測中的一道解析幾何題進行了研究，并對結論進行了推廣，與同仁探討。

一、解法探究

解：（1）略。橢圓的方程為

（2）思路探究：

基礎問題1：∠MPN等于多少？

根據一般與特殊的關系，取點P的特殊位置，如圖1，此時PM斜率不存在，PN斜率為0，∠MPN=90°，所以猜想這個定值為90°，這雖然不是嚴格的證明，但卻給我們提供了一個努力的方向。

圖1

問題的解決有多種途徑，但我們應該從直線與橢圓相切尋求利用哪個等價條件。

基礎問題2：如何利用直線與橢圓相切？

通過聯立直線和橢圓方程，利用判別式Δ=0得到相切，設P

二、進一步探討

本題屬于探究定值問題，上面的做法是根據特殊性猜想結論，再由演繹方法證明結論，這是數學發現的重要思維方式，較好地體現了思維的過程。

通過探究我們可以得出一般的結論：