函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探討

趙祺

摘 要 本文對高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想的內(nèi)涵作了探討，并結(jié)合一些具體實例說明了函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué) 函數(shù) 方程思想 應(yīng)用

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A

函數(shù)與方程思想是指在數(shù)學(xué)問題解決過程中，根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造或建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)與方程，應(yīng)用函數(shù)與方程的知識及其性質(zhì)進行分析問題和解決問題。函數(shù)與方程思想可以使數(shù)學(xué)問題解決變得簡潔、明快，能夠化繁為簡，化難為易。

1高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程雖然是兩個不同的數(shù)學(xué)概念，但它們之間有著緊密的聯(lián)系。從高中數(shù)學(xué)角度來看，函數(shù)與方程思想主要在兩個方面對解題發(fā)揮著很大的作用：一方面是聯(lián)系有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解決關(guān)于求值、解析（證明）不等式、求解方程和關(guān)于參數(shù)取值范圍的討論等問題；另一個方面則是通過建立函數(shù)關(guān)系式和構(gòu)造輔助函數(shù)，把需要求解的問題轉(zhuǎn)化成為討論函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的問題，從而簡化題目難度。

1.1函數(shù)的思想

函數(shù)的思想總體上而言就是利用運動和變化的觀點，進而分析研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立起函數(shù)關(guān)系或是構(gòu)造函數(shù)，最終能夠利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化這些問題，使問題得以解決。

1.2方程的思想

方程思想指的是通過分析數(shù)學(xué)問題中變量的直接關(guān)系，從而建立起方程或方程組，或是構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題、解決問題。方程的思想要求對方程的概念有深刻的認識，在解題中需要利用方程或方程組的觀點觀察、分析和處理問題。

2函數(shù)與方程思想在解題中的典型應(yīng)用

在下文，結(jié)合一些典型的題目來顯現(xiàn)函數(shù)與方程思想在解 答高中數(shù)學(xué)題目中所發(fā)揮的獨特的作用。

2.1求解不等式問題

例1：解不等式+5>0。

解析：題目中不等式可以簡化為（）3+5>+5，

令（）=+5，則上式可寫成（）>（），

易知函數(shù)（）=+5在整個R上單調(diào)遞增，所以原式等價于>，

因此，解得： 1

點評：上述例題是函數(shù)與方程數(shù)學(xué)思想在不等式解題中的應(yīng)用，是將不等式的求解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，再通過函數(shù)單調(diào)性簡化問題。

2.2求解數(shù)列有關(guān)問題

例2：設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn是數(shù)列an的前n項和，已知S7=7，S15=75，Tn為數(shù)列的前n項和，求Tn。

解析：設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，則有

，解方程可得：a1= 2，d=1。

所以，=a1+（n1）d= 2+（n 1），

又因 =，所以數(shù)列{}是等差數(shù)列，且其首項為 2，公差為，

即：Tn= n

點評：在例2中可以看到，利用題目已知條件，列出方程組，直接對問題進行求解，此外，數(shù)列實質(zhì)上就是定義域為N的函數(shù)值列。應(yīng)該注意N的無限子集中除N外均不能做為數(shù)列所對應(yīng)的函數(shù)的定義域，有限子集也必須是規(guī)定的形式。數(shù)列的通項公式an=f（n），前n項和公式 Sn=g（n）實質(zhì)上就是函數(shù)解析式。

2.3求解應(yīng)用型問題

例3：甲、乙兩地相距600千米，快車勻速走完全程需10個小時，慢車勻速走完全程需15個小時，兩車分別從甲、乙兩地同時相向而行，求從出發(fā)到相遇，兩車的距離 y（千米）與行駛的時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式，給出自變量x的取值范圍。

解析：由題目已知條件可以得到快車、慢車的速度分別為60 Km/h，40 Km/h，進而推出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為：y=600-（40+60）x，所以兩車相遇所用的時間是6 小時，即有 0≤x≤6。

點評：就本體而言，主要是通過行程問題尋找變量 x、y 之間的函數(shù)關(guān)系式，在一般的題目中，解題時首先列出關(guān)于x、y 的方程式，再轉(zhuǎn)化成 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，值得注意的是 實際問題中自變量的取值范圍的確定。

3函數(shù)與方程思想解題總結(jié)

從以上給出的例子可以看出，函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)的解題中有著廣泛的應(yīng)用，巧妙利用函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想通常可以將一個較為復(fù)雜抽象的題目轉(zhuǎn)化成為簡單具體的問題進行分析。在基于函數(shù)與方程數(shù)學(xué)思想解題的時候，有以下幾個問題值得注意：

（1）看到一個題目，首先要想想是否可以一個代數(shù)式抽象成為看成一個函數(shù)，把方程化作函數(shù)，把字母可以設(shè)為變量。

（2）如果可以把一個代數(shù)式變成函數(shù)，把字母當(dāng)作變量，是否應(yīng)該充分運用函數(shù)的性質(zhì)和圖像來解題。

（3）如果題目中的問題不能簡單地化作函數(shù)問題來處理，是否應(yīng)該想到構(gòu)造一個輔助函數(shù)來解決問題。

（4）對于一個等式是否可以把這個等式看作為一個含有未知數(shù)的方程來處理。

（5）對于一個方程，應(yīng)該注意對這個方程的根（例如根的虛實、正負、范圍等）有什么要求。

總之，函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)解題中最基本的思想方法，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中要加強這種思想方法的訓(xùn)練，以便熟練掌握這種思維方式，運用在題目的分析和解題中，不斷地提高思維的靈活性。

參考文獻

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