逆向思維在解決高中數學問題中的應用

江蘇省射陽縣第二中學 王 浩

數年數學的學習，讓學生們形成了一種思維定式，即審完題后由條件出發向答案靠近，這種思維方式在解決偏中低難度的題目時顯得快捷方便，但是在解答一些中高等難度的問題時，就可能會給解題帶來難度，花了大把的時間才能理出自己的解題思路，而逆向思維的使用總能起到事半功倍的效果，省時又省力，是學生們不可或缺的一種解題技能。

一、逆向思維——求“對”

對立事件問題是常見的一類概率問題，出題者往往會讓學生求一個組成極其煩瑣的事件的概率，而學生往往也會順著出題者的想法解題，進而浪費大把的時間和精力。但如果采用逆向思維，求其對立事件的概率，繼而求其概率，就會顯得容易許多。

例1 在20件成品中，其中有15件一級品，5件二級品，取三件成品，至少有一件是二級品的概率是多少？

解析：如果此題按常規思路求解，則需計算取一件二級品、取兩件二級品、取三件二級品三個事件的概率總和，消耗大把時間，計算還極其煩瑣，但如果計算其對立事件——三件都不是二級品的概率，繼而求出此事件的概率就會很容易，即

由此題可見，求解某一事件對立事件的概率有時比起求解此事件的概率的計算量要小許多，解題效率也要高許多，在以后解答此類對立事件概率題時，不妨多使用這一思維方式，讓問題變得更加簡易。

二、逆向思維——逆推

幾何作為高中數學重要的組成部分，也是同學們需要重點掌握的一塊知識，常見的證明題同學們也是見多不怪了，但是出題者往往會利用學生的慣性思維，讓學生的解題思路斷層，故而此時應用逆向思維可以為學生的解題打開一扇新的窗戶，讓解題變得更加高效、省時，大大提升了學生的解題能力。

例2 (2016江蘇高考試卷第13題）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，

解析：出題者只給出了幾個與求解的值關系不大的條件，學生想要將條件向問題靠攏的困難比較大，于是應該使用逆推法將問題向條件靠攏，由題意可知根據這些關系式，很容易就能將的結果求出來。

出題者總會有意地掩蓋題目中的條件和問題之間的關系，而找到這其中的關系就是解題的突破口，逆推法便是找出其中關系的一種重要且容易領悟的方法。在證明題中，即使不能使用逆推法直接解題，但至少也為解題理清了思路，規劃好了解題方向。掌握逆推法能為數學解題打開一片新視野。

三、逆向思維——反證

在大題目中的證明題往往是逆推法無法直接解決的，故而解決此類問題還需要一種新的數學方法，那就是反證法。在高中數學中，反證法雖然不是一個教學重點，但的的確確是一個難點。反證法有三個步驟：（1）反設；（2）歸謬；（3）結論。反設即設出一個與原命題相反的結論；歸謬即使用反設作為條件，并證明存在矛盾；最后得出結論：原命題成立。

例3 已知數列{bn}的通項公式為求證：數列{bn}中的任意三項不可能成等差數列。

解析：首先假設存在三項成等差數列：bx，by，bz，所以2by=bx+bz,即左邊為奇數，右邊為偶數，得出矛盾，所以原命題成立。

此題如果不采用反證法解題，會給解題者帶來非常大的思考量和運算量，相比較而言，反證法所節約的時間和精力是很高的，可以說是事半功倍。掌握了反證法這一重要的解題方法，可以大幅提高學生的解難題能力，讓學生不再因為這類題目而一籌莫展。

總之，逆向思維是一種極其重要的數學思維方式，是一種出奇制勝的秘密武器。在高中數學解題中，逆向思維有著廣泛的運用，在函數、方程、數列、幾何等知識點中均有其身影。熟練運用這一思維方式不僅可以提升學生在數學方面的分析問題、解決問題的能力，同時，也可以在其他學科的解題中帶來不同程度的幫助。